Question

Знаменатель несократимой дроби на 1 меньше,чем удвоенный числитель.если к дроби прибавить 6/5,а затем у новой дроби числитель увеличить на 2,то получим дробь,обратную исходной.найти произведение числителя и знаменателя
исходной дроби

Answer 1

Пусть x/y - исходная дробь (x и y - целые числа). Её знаменатель на 1 меньше, чем удвоенный числитель, т.е. 2x-y = 1.

Прибавим к дроби 6/5: x/y + 6/5 = (5x+6y)/5y. Увеличим числитель на 2: (5x+6y+2)/5y. По условию задачи (5x+6y+2)/5y = y/x.

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\\\begin{cases}2x-y=1\\\frac{5x+6y+2}{5y}=\frac{y}x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=2x-1\\\frac{5x+12x-6+2}{10x-5}=\frac{2x-1}x\end{cases}\\\frac{5x+12x-6+2}{10x-5}=\frac{2x-1}x\\\frac{17x-4}{10x-5}=\frac{2x-1}{x}\\17x^2-4x=20x^2-20x+5\\3x^2-16x+5=0\\D=256-4\cdot3\cdot5=196=(14)^2\\x_1=5\\x_2=\frac13\quad - HE\quad nogx.\\\begin{cases}y=9\\x=5\end{cases}\\ x\cdot y=9\cdot5=45$