Question

Решить дифференциальное уравнение

Answer 1

Обе дифференциальные уравнения являются уравнениями с разделяющимися переменными.

а) $\dfrac{dy}{dx}=x(y^2+2y)$

Разделяем переменные

$\dfrac{dy}{y^2+2y}=xdx~~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \int \dfrac{dy}{y^2+2y}=\int xdx~~\Rightarrow~~ \int\dfrac{dy}{(y+1)^2-1}=\int xdx\\ \\ \\ \dfrac{1}{2\cdot 1}\ln \bigg|\dfrac{y+1-1}{y+1+1}\bigg|=\dfrac{x^2}{2}+C\\ \\ \\ \boxed{\dfrac{1}{2}\ln \bigg|\dfrac{y}{y+2}\bigg|=\dfrac{x^2}{2}+C}$

Получили общий интеграл и это есть ответ.

б) $x^2y^2y'+1=y$

$x^2y^2y'=y-1~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-1}{x^2y^2}~~~\Rightarrow~~ \displaystyle \int \dfrac{y^2}{y-1}dy=\int \dfrac{dx}{x^2}\\ \\ \\ \int\dfrac{y^2-1+1}{y-1}dy=-\dfrac{1}{x}+C~~~~\Rightarrow~~~ \int \dfrac{(y-1)(y+1)+1}{y-1}dy=-\dfrac{1}{x}+C\\ \\ \\ \int (y+1)dy+\int\dfrac{dy}{y-1}=-\dfrac{1}{x}+C\\ \\ \\ \dfrac{y^2}{2}+y+\ln|y-1|=-\dfrac{1}{x}+C$

Получили общий интеграл.

Answer 2

решение и ответ во вложении