Question

Нужно исследовать функцию и сделать чертеж. (x^2+8)/(x+1) 1) найти область определения 2) чётность, нечётность функции. 3) порядочность функции. 4) интервалы монотонности и точки экстремума 5) интервалы выпуклой и вогнутой, точки перегиба 6) асимптоты графика функции 7) точки пересечения с осями 8) построение графика функции

Answer 1

Y = (x^2 + 8)/(x + 1)
1) x ∈ (-oo; -1) U (-1; +oo)

2) Не четная и не нечетная

3) Порядочность - что это? Порядочная? Беспорядочная? Непорядочная?

4) $y'= \frac{2x(x+1)-(x^2+8)}{(x+1)^2}= \frac{2x^2+2x-x^2-8}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2} = \frac{(x+4)(x-2)}{(x+1)^2} =0$
x1 = -4; y(-4) = (16 + 8)/(-4 + 1) = 24/(-3) = -8 - минимум
x2 = 2; y(2) = (4 + 8)/(2 + 1) = 12/3 = 4 - максимум
В точке x0 = -1 производная не существует.
При x ∈ (-oo; -4) будет y' > 0, функция возрастает
При x ∈ (-4; -1) будет y' < 0, функция убывает
При x ∈ (-1; 2) будет y' < 0, функция убывает
При x ∈ (2; +oo) будет y' > 0, функция возрастает

5) $y''= \frac{(2x+2)(x+1)^2-(x^2+2x-8)*2(x+1)}{(x+1)^4} =\frac{(2x+2)(x+1)-2(x^2+2x-8)}{(x+1)^3} =$
$=\frac{2x^2+4x+2-2x^2-4x+8}{(x+1)^3} = \frac{10}{(x+1)^3} =0$
Решений нет, но при x = -1 вторая производная не определена.
При x ∈ (-oo; -1) будет y'' < 0, функция выпуклая вверх
При x ∈ (-1; +oo) будет y'' > 0, функция выпуклая вниз (вогнутая)

6) Асимптота вертикальная в точке разрыва x = -1.
Асимптоты наклонные и горизонтальные. Прямая f(x) = kx + b
$k= \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+8}{x^2+x} =1$
$b= \lim_{x \to \infty} (y(x)-k*x)= \lim_{x \to \infty} ( \frac{x^2+8}{x+1} -x)=$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+8-x^2-x}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x+8}{x+1} =-1$
Наклонная асимптота f(x) = x - 1

7) Точки пересечения с осями
С осью Oy: x = 0; y(0) = (0 + 8)/(0 + 1) = 8/1 = 8. A(0; 8)
С осью Ox: y = 0; (x^2 + 8)/(x + 1) = 0; решений нет. Нет пересечений.

8) График сами стройте, у меня тетрадки в клеточку нет.