Question

1-5sinx+2cos^2x=0 , x принадлежит промежутку 3p/2; 5p/2

Answer 1

Решаем уравнение:
$1-5sinx+2cos^2x=0 \\2(1-sin^2x)-5sinx+1=0 \\sinx=y,\ y \in [-1;1] \\2-2y^2-5y+1=0 \\2y^2+5y-3=0 \\D=25+24=49=7^2 \\y_1= \frac{-5+7}{4} = \frac{1}{2} \\y_2= \frac{-5-7}{4} \notin [-1;1] \\sinx= \frac{1}{2} \\x_1= \frac{\pi}{6} +2\pi n,\ n \in Z \\x_2=\frac{5\pi}{6} +2\pi n,\ n \in Z$
проводим отбор корней:
нам нужны корни на промежутке $[ \frac{3\pi}{2} ; \frac{5\pi}{2} ]$
решаем двойное неравенство для каждого корня:
$1)\frac{3\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} +2\pi n \leq \frac{5\pi}{2} \\ \frac{3}{2} \leq \frac{1}{6} +2n \leq \frac{5}{2} \\ \frac{4}{3} \leq 2n \leq \frac{7}{3} \\ \frac{2}{3} \leq n \leq \frac{7}{6}$
отсюда n=1; $x=\frac{\pi}{6}+2\pi= \frac{13\pi}{6}$
$2)\frac{3\pi}{2} \leq \frac{5\pi}{6} +2\pi n \leq \frac{5\pi}{2} \\\frac{3}{2} \leq \frac{5}{6} +2n \leq \frac{5}{2} \\ \frac{2}{3} \leq 2n \leq \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} \leq n \leq \frac{5}{6}$
из 2 неравенства нет целых n, удовлетворяющих условию.
ответ:
корни уравнения:
$x_1= \frac{\pi}{6} +2\pi n,\ n \in Z \\x_2=\frac{5\pi}{6} +2\pi n,\ n \in Z$
корни на промежутке $[ \frac{3\pi}{2} ; \frac{5\pi}{2} ]$
$x=\frac{13\pi}{6}$