Пошаговое объяснение:
Признак делимости на 9: Число делится на 9 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 9.
Признак делимости на 3: Число делится на 3 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 3.
Пусть на доске записано некоторое натуральное число. По условию к нему двумя приписать цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 9. Пусть сумма цифр числа равно S.
Рассмотрим случаи:
Случай-1. Число не делится на 9, тогда и сумма цифр S не делится на 9, то есть остаток от деления числа S больше нуля: S=k·9+A, где k - целое не отрицательное число, А остаток от деления и 0<A<9. Если к остатке прибавить любую цифру В (В цифра, то есть 0≤В≤9) получим неравенство
0<A+В<9+В≤18 или 0<A+В<18
Поэтому к нему можно приписать только одну цифру В так, чтобы S+В делилась на 9. По условию можно двумя приписать, что означает не этот случай.
Случай-2. Число делится на 9, тогда и сумма цифр S делится на 9, то есть остаток от деления числа S равен нулю: S=k·9+0, где k - целое не отрицательное число. Так как k·9 делиться на 9, то если к нему прибавить любую цифру В (В цифра, то есть 0≤В≤9) получим k·9+В и это число делится на 9, если В=0 или В=9. Поэтому по условию именно этот случай имеется в виду.
В таком случае, имея в виду то, что 9=3² перепишем сумму цифр числа: S=k·9=m·3, где m - натуральное число. Если к нему прибавить любую цифру В (В цифра, то есть 0≤В≤9) получим m·3+В и это число делится на 3, если В делится на 3. Поэтому цифра В может быть только цифрами 0, 3, 6 и 9.
ответ
217 = 31 * 7
Если c - количество учеников, t - количество книг каждому ученику, то
c * t = 217 - по условию.
Все разложения на два натуральных множители (c учетом порядка) числа 217:
217 = 1 * 217 = 7 * 31 = 31 * 7 = 217 * 1.
Совсем в теории возможен каждый из ответов, то есть:
217 учеников 5 класса получили по 1 учебнику
7 учеников 5 класса получили по 31 учебнику
31 ученик 5 класса получил по 7 учебников
1 ученик 5 класса получил 217 учебников
Достаточно реалистично выглядит ответ
31 ученик 5 класса получил по 7 учебников
(a-d)²=(a-aq³)²
(a-c)²+(b-c)²+(b-d)²=(a-aq²)²+(aq-aq²)²+(aq-aq³)²=a²-2a²q²+a²q⁴+a²q²-2a²q³+
+a²q⁴+a²q²-2a²q⁴+a²q⁶=a²-2a²q³+a²q⁶=(a-aq³)²
что и требовалось доказать