Question

Найти область степенного ряда 10^n*(x-2)^n

Answer 1

Радиус сходимости по признаку Даламбера: $R= \dfrac{10^n}{10^{n+1}}= \dfrac{1}{10}$

Ряд будет сходящимся, если $|x-2|\ \textless \ \dfrac{1}{10}$

                                              $-\dfrac{1}{10} \ \textless \ x-2\ \textless \ \dfrac{1}{10} \\ \\ \\ \dfrac{19}{10} \ \textless \ x\ \textless \ \dfrac{21}{10}$

Т.е. будет сходящимся при $x \in \bigg(\dfrac{19}{10} ;\dfrac{21}{10} \bigg)$

Исследуем теперь ряд на концах искомого интервала.

Если $x=\dfrac{19}{10}$, получаем $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^n$ - расходящийся ряд.

Если $x=\dfrac{21}{10}$, то $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}1$ - расходится.

ОТВЕТ: ряд является сходящимся при $x \in \bigg(\dfrac{19}{10} ;\dfrac{21}{10} \bigg)$