Question

Люди , даны векторы a , b и c. найдите : а) скалярное произведение векторов a . b б) векторное произведение векторов a *b в) смешанное произведение векторов (a *b) . c г) проекцию вектора b на вектор a д) площадь треугольника, построенного на векторах a , b е) объем пирамиды, построенной на векторах a , b , c . a = mn , m(-2; 3; 4), n(0; -2; 3), b = -2i + 3 j , c = (2; 3; - 4)

Answer 1

Для начала запишем координаты каждого из векторов
$\overline a=MN=(0-(-2);-2-3;3-4)=(2;-5;-1)$
$\overline b=(-2;3;0)$, т.к. вектор b построен в ортонормированном базисе i,j,k
$\overline c=(2;3;-4)$
a)
$\overline a \cdot \overline b = 2*(-2)+(-5)*3+(-1)*0 = -19$
б)
$\overline a \times \overline b = \left\begin{vmatrix}i&j&k\\2&-5&-1\\-2&3&0\end{vmatrix}\right = i(-5*0-3*(-1))-j(2*0-(-2)*(-1)) \\ + k(2*3-(-2)*(-5))=3i + 2j - 4k = \{3;2;-4\}$
в)
$[\overline a \times \overline b] \cdot \overline c = \left\begin{vmatrix}2&-5&-1\\-2&3&0\\2&3&-4\end{vmatrix}\right = 4$
г) Найдем модуль вектора $\overline a$
$|\overline a| = \sqrt{2^2+(-5)^2+(-1)^2} = \sqrt{30}$
Пр$_{\overline a} \overline b = \frac{\overline a \cdot \overline b}{|\overline a|} = \frac{-19}{\sqrt{30}}$
д) Из свойств векторного произведения:
$S_\Delta = \frac{1}{2} |\overline a \times \overline b| = \frac{1}{2} \sqrt{3^2+2^2+(-4)^2}= \frac{1}{2} \sqrt{29}$
е) Найдем объем пирамиды
$V=\frac{1}{6} |[\overline a \times \overline b] \cdot \overline c| = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$