Question

Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки a(x1; y1) равно расстоянию до прямой y = b. полученное уравнение к простейшему виду и построить кривую. a (2; 1), b=-1

Answer 1

Пусть М(х;у) — текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую у = -1 (см. приложение). Тогда В (х; -1).
Так как МА=МВ, то $\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=y-(-1) .$
Возведём обе части в квадрат.
$(x-2)^2+(y-1)^2=(y+1)^2.$
Раскроем скобки с переменной у:
$(x-2)^2=y^2+2y+1-y^2+2y-1=4y.$
Получаем уравнение параболы:
$y=(1/4)(x-2)^2.$

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О*(2; 0). Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду положим x – 2 = X*, y = Y*. 

Тогда в системе координат Х*0*У* уравнение параболы принимает следующий вид: У*= (1/4)(Х*)².