Question

Решить. нужно найти z1+z2; z1-z2; z1×z2; z1÷z2; и записать число z1 в тригонометрической и показательной форме. z1=1+√3 i z2=-i

Answer 1

$z1=1+ \sqrt{3} i \\ z2= -i$

Найдём тригонометрическую форму z1 по формулам:

$z = a+ib \\ \\ z = |z|(cos \phi +i sin \phi) \\ \\ |z| = \sqrt{a^2+b^2} \\ \\ \phi = arctg \frac{b}{a}$

Т.к. в нашем примере a = 1 > 0, что указывает на первую четверть, то вышеприведённую формулу для нахождения угла используем без изменений. Иначе, пришлось бы добавлять или отнимать от вычисленного угла 180° (или π).

Итак, у нас $z1=1+ \sqrt{3} i$, a = 1; $b =\sqrt{3}$.
Вычисляем модуль:
$|z1| = \sqrt{1^2 +( \sqrt{3})^2 } =2$
Вычисляем угол:
$\phi = arctg \frac{ \sqrt{3} }{1} = \frac{ \pi }{3}$
Записываем в тригонометрической форме:
$z1 = 2(cos \frac{ \pi }{3} +i sin \frac{ \pi }{3})$

Показательная форма имеет вид:
$z = |z| e^{i \phi}$
У нас всё уже вычислено, подставляем:
$z1 = 2 e^{ i \frac{\pi }{3}}$

$z1 + z2 = 1+ \sqrt{3} i + (-i) = 1+ ( \sqrt{3}-1) i \\ \\ z1 - z2 =1+ \sqrt{3} i -( -i) = 1+( \sqrt{3}+1) i \\ \\ z1 * z2 = (1+ \sqrt{3} i) * ( -i) = -i - \sqrt{3} i^2 = \sqrt{3} -i \\ \\ \frac{z1}{z2} = \frac{1+ \sqrt{3} i}{-i} = \frac{1+ \sqrt{3} i}{-i} \frac{i}{i} = \frac{i+ \sqrt{3}i^2 }{-i^2} = \frac{- \sqrt{3}+i }{-(-1)} = - \sqrt{3}+i$