Question

Убедиться, что прямые l1: (x-1)/2=(y+2)/-3=(z-5)/4 и l2: (x-7)/3=(y-2)/2=(z-1)/-2 принадлежат одной плоскости и написать уравнение этой плоскости

Answer 1

$l_1:\; \; \; \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-5}{4}\; \; \to \; \; \; \vec{s}_1=(2,-3,4)\; ,\; \; M_1(1,-2,5)\\\\l_2:\; \; \frac{x-7}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{-2}\; \; \to \; \; \; \vec{s}_2=(3,2,-2)\; ,\; \; M_2(7,2,1)\\\\\overline {M_1M_2}=(6,4,-4)$

Прямые  $l_1$  и  $l_2$  лежат в одной плоскости, если три вектора  $\vec{s}_1\; ,\; \; \vec{s}_2\; ,\; \; \overline {M_1M_2}$  компланарны. Тогда смешанное произведение этих трёх векторов должно равняться  0 . Вычислим смешанное произведение:

$(\vec{s}_1,\; \vec{s}_2,\; \overline {M_1M_2})=\left|\begin{array}{ccc}2&-3&4\\3&2&-2\\6&4&-4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}2&-3&4\\3&4&-2\\0&0&0\end{array}\right|=0$

Нулевую строчку в определителе  получили умножив 2 строку на (-2) и прибавив к 3 строке.
Так как смешанное произведение = 0 , то прямые лежат в одной плоскости.
Чтобы составить уравнение этой плоскости можно найти её нормальный вектор как векторное произведение направляющих векторов (Можно было бы воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через 3 точки. Две точки мы знаем из уравнений прямых М1 и  М2, а третью можно определить, переведя уравнение какой-либо прямой в параметрический вид и придав значение параметру  t .) Найдём нормальный вектор плоскости $\pi$  .

$[\vec{s}_1\times \vec{s}_2]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-3&4\\3&2&-2\end{array}\right| =i(6-8)-j(-4-12)+k(4+9)=\\\\\\=-2\vec{i}+16\vec{j}+13\vec{k}\\\\\pi :\; \; -2(x-1)+16(y+2)+13(z-5)=0\\\\-2x+16y+13z-31=0\\\\\pi :\; \; \underline {2x-16y-13z+31=0}$