Question

Допустим p и q комплексные числа, где . доказать, что если квадратное уравнение модули решения равны, то это действительное число.

Answer 1

Пусть x1 = r exp(iα) и x2 = r exp(iβ) — корни уравнения.

По теореме Виета
$-p=re^{i\alpha}+re^{i\beta}=r(e^{i\alpha}+e^{i\beta})\\ q^2=re^{i\alpha}\cdot re^{i\beta}=r^2e^{i(\alpha+\beta)}$

$p=-r(e^{i\alpha}+e^{i\beta})\\ q=\mp re^{i(\alpha+\beta)/2}$

Делим p на q:
$\dfrac pq=\pm\dfrac{e^{i\alpha}+e^{i\beta}}{e^{i(\alpha+\beta)/2}}=\pm(e^{i(\alpha-\beta)/2}+e^{-i(\alpha-\beta)/2})=\pm2\cos\dfrac{\alpha-\beta}2\in\mathbb R$