а) Произведение 120 * 34 делится на 17 так как по признаку делимости на 17 когда число его десятков сложенно с увеличенным в 12 раз числом единиц кратно 7, и так как у нас произведение нам достаточно чтобы только 1 число делилось на 17:
120 —> 12 + 0 = 12 —> 1 + 24 = 25 —> 2 + 60 = 62; 62 не делится на 17
34 —> 3 + 48 = 51 —> 5 + 12 = 17; 17 делится на 17 =>
120 * 34 делится на 17
b) Сумма 18 + 96 делится на 6 так как по признаку делимости на 6 число которое мы проверяем должно делится на 2 и на 3:
18 / 2 = 9 ; 18 / 3 = 6 ( делится )
96 / 2 = 48 ; 96 / 3 = 32 ( делится )
Эти два примера мы должны считать устно, я его написал, чтобы было понятнее. => сумма 18 + 96 делится на 6.
а) 1/4 и 1/6 - общ.знам.12=1/4×3 и 1/6×2= 3/12>2/12
б) 3/8 и 4/15 - общ.знам.120=3/8×15 и 4/15×8= 45/120>32/120
в) 1/12 и 1/18 - общ.знам.36=1/12×3 и 1/18×2= 3/36>2/36
г) 4/9 и 7/12 - общ.знам.36=4/9×4 и 7/12×3= 16/36<21/36
д) 1/21 и 3/5 - общ.знам.105=1/21×5 и 3/5×21= 5/105<63/105
е) 1/24 и 1/36 - общ.знам.72=1/24×3 и 1/36×2= 3/72>2/72
ж) 7/18 и 5/6 - общ.знам.18=7/18×1 и 5/6×3= 7/18<15/18
з) 2/15 и 11/12 - общ.знам.60=2/15×4 и 11/12×5= 8/60<55/60
и) 3/10, 3/8 и 3/4 - общ.знам.40=3/10×4, 3/8×5 и 3/4×10= 12/40<15/40<30/40
к) 1/20 и 1/30 - общ.знам.60=1/20×3 и 1/30×2= 3/60>2/60
л) 1/9, 1/4 и 1/6 - общ.знам.36=1/9×4, 1/4×9 и 1/6×6= 4/36<9/36>6/36
м) 3/28, 9/14 и 7/8 - общ.знам.56= 3/28×2, 9/14×4 и 7/8×7= 6/56<36/56<49/56
1. Найти область определения функции.
Функция дробная, знаменатель не может быть равен нулю.
х²+2х+3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=2^2-4*1*3=4-4*3=4-12=-8; Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.
Значит, ограничений нет.
2. Исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций).
f(-x) = (-x)² + 2*(-x) + 3 = x² - 2x + 3 ≠ f(x) и не равно -f(-x).
Значит, функция не чётная и не нечётная.
3. Найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют).
Точек разрыва и вертикальных асимптот нет.
4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;
Наклонных асимптот нет, горизонтальная есть: у = 1 (решение в приложении).
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
Находим производную функции.
y' = (2x(x+3))/((x²+2x+3)²)
Приравниваем нулю (достаточно числитель).
2х(х+3) = 0.
Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = -3.
Находим знаки производной в полученных промежутках.
x = -4 -3 -2 0 1
y' = 8 0 -4 0 8.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Функция: возрастает на промежутках х ∈ (-∞; -3)∪(0; +∞),
убывает на промежутке х ∈ (-3; 0),
максимум функции в точке х = -3,
минимум х = 0.
6. Определить интервалы выпуклости и точки перегиба.
Для этого находим вторую производную.
y'' = (-4x³-18x²+18)/((x²+2x+3)³).
Приравняв нулю числитель, находим 3 точки перегиба графика:
х= -4,25098, х = -1,16089 и х = 0,911869.
7. Найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Ось Ох не пересекается, только есть точка касания х = 0.
Ось Оу пересекается при х = 0.
Дополнительные точки для построения графика даны в приложении.