Question

1. итерации пусть f(x)=1/корень кубический из 1−x^3. найдите f(…f(f⏟2019(2017))…) (функция f применяется 2019 раз). при необходимости округлите результат до сотых.

Answer 1

$f(x)= \frac{1}{ \sqrt[3]{1-x^3} }$

Прежде, чем подставлять вместо x = 2017 и затем вновь подставлять полученные значения, будем подставлять выражение в общем виде.

1) $f(x)= \frac{1}{ \sqrt[3]{1-x^3} }$

2) $f(\frac{1}{ \sqrt[3]{1-x^3}})= \frac{1}{ \sqrt[3]{1-(\frac{1}{ \sqrt[3]{1-x^3}})^3}} = \frac{1}{ \sqrt[3]{1- \frac{1}{1-x^3}}} = \frac{1}{ \sqrt[3]{ \frac{1-x^3-1}{1-x^3}}} = \\ \\ =\frac{1}{ \sqrt[3]{ \frac{-x^3}{1-x^3}}} = \frac{ \sqrt[3]{1-x^3}}{-x}$

3) $f( \frac{ \sqrt[3]{1-x^3}}{-x}) = \frac{1}{ \sqrt[3]{1-(\frac{ \sqrt[3]{1-x^3}}{-x})^3} } = \frac{1}{ \sqrt[3]{1-\frac{ 1-x^3}{-x^3}} } = \frac{1}{ \sqrt[3]{1+\frac{ 1-x^3}{x^3}} } = \\ \\ = \frac{1}{ \sqrt[3]{\frac{ x^3+1-x^3}{x^3}} } = \frac{1}{ \sqrt[3]{\frac{ 1}{x^3}} } = x$

4) $f(x)= \frac{1}{ \sqrt[3]{1-x^3} }$

Итак, каждый третий результат повторяется. Посчитаем, в каком месте мы окажемся, применив операцию 2019 раз. 2019 : 3 = 673. Т.е. мы попадаем в пункт 3, он делится на 3. А там результат равен x. Остаётся вместо икса подставить наше значение и записать ответ:

х = 2017