Question

Решите , подробно если можно) sin3x+sin9x=3sin6x

Answer 1

$\sin3x+\sin9x=3\sin6x\\\\3x=y,\;6x=2y,\;9x=3y\\\sin y+\sin3y=3\sin2y\\\sin y+3\sin y-4\sin^3y=6\sin y\cos y\\4\sin y-4\sin^3y-6\sin y\cos y=0\\\sin y(4-4\sin^2y-6\sin y\cos y)=0\\\sin y(4\sin^2y+4\cos^2y-4\sin^2y-6\sin y\cos y)=0\\\sin y(4\cos^2y-6\sin y\cos y)=0\\\\1)\;\sin y=0\Rightarrow y=\pi n\\3x=\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi n}3\\\\2)\;4\cos^2y-6\sin y\cos y=0\\2\cos y(2\cos y-3\sin y)=0\\a)\;\cos y=0\Rightarrow y=\frac\pi2+\pi n\\3x=\frac\pi2+\pi n\Rightarrow x=\frac\pi6+\frac{\pi n}3$

$b)\;2\cos y-3\sin y=0\\2\cos y=3\sin y\\tgy=\frac23\Rightarrow y=arctg\left(\frac23\right)+\pi n\\3x=arctg\left(\frac23\right)+\pi n\Rightarrow x=\frac13\cdot arctg\left(\frac23\right)+\frac{\pi n}3$