Question

Решить систему уравнений по формулам крамера: а)2x-5y+3z=4 б)4x+3y-5z=2 в)5x+4y-2z=18

Answer 1

Найдем определить из состоящих коэффициентов системы:
$з=\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}2&-5&3\\ 4&3&-5\\ 5&4&-2\end{array}\right|~~~ \boxed{=}$
Этот определитель можно решить совершенно различными Гаусса, треугольника, разложением по строкам. В данном случае вычислим определитель методом разложением по первой строке:
$\boxed{=}~(-1)^{1+1}\cdot2\left|\begin{array}{ccc}3&-5\\ 4&-2\end{array}\right|+(-1)^{1+2}\cdot(-5)\left|\begin{array}{ccc}4&-5\\ 5&-2\end{array}\right|+\\ \\ +(-1)^{1+3}\cdot3\left|\begin{array}{ccc}4&3\\5&4\end{array}\right|=2\cdot(-6+20)+5\cdot(-8+25)+3\cdot(16-15)=116$

Найдем определитель $з_x$. Вычислить получается из определителя $з$, путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов
$з_x= \left|\begin{array}{ccc}4&-5&3\\ 2&3&-5\\ 18&4&-2\end{array}\right|=4 \left|\begin{array}{ccc}3&-5\\ 4&-2\end{array}\right|+5\left|\begin{array}{ccc}2&-5\\18&-2\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{ccc}2&3\\ 18&4\end{array}\right|=\\ \\ \\ =4\cdot(-6+20)+5\cdot(-4+80)+3\cdot(8-54)=348$

Аналогично найдем определить $з_y$, заменяя второй столбец коэффициентов на столбец свободных членов.
$з_y=\left|\begin{array}{ccc}2&4&3\\ 4&2&-5\\ 5&18&-2\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{ccc}2&-5\\ 18&-2\end{array}\right|-4\left|\begin{array}{ccc}4&-5\\ 5&-2\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{ccc}4&2\\5&18\end{array}\right|=\\ \\ \\ =2\cdot(-4+80)-4\cdot(-8+25)+3\cdot(72-10)=290$

И последнее находим определить $з_z$, заменяя третий столбец коэффициентов на столбец свободных членов.
$з_z=\left|\begin{array}{ccc}2&-5&4\\ 4&3&2\\ 5&4&18\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{ccc}3&2\\ 4&18\end{array}\right|+5\left|\begin{array}{ccc}4&2\\ 5&18\end{array}\right|+4\left|\begin{array}{ccc}4&3\\5&4\end{array}\right|=\\ \\ \\ =2\cdot(54-8)+5\cdot(72-10)+4\cdot(16-15)=406$

окончательно получим решения нашей системы уравнений
$x= \dfrac{з_x}{з}= \dfrac{348}{116}=3 ;\\ \\ y= \dfrac{з_y}{з}= \dfrac{290}{116}=2.5\\ \\ z= \dfrac{з_z}{з}= \dfrac{406}{116}=3.5$