Дан правильный 21 -угольник. найдите количество троек его вершин, являющихся вершинами треугольника, в котором хотя бы один угол равен 60 ∘ . (две тройки вершин, отличающиеся порядком вершин, считаются одинаковыми)
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать следующую идею: если треугольник имеет угол 60°, то две оставшиеся вершины должны быть соседними (так как они будут являться концами угла 60°).
Дано, что у нас есть правильный 21-угольник. Это означает, что все его углы равны между собой (все равны 360° / 21 = 17°).
Поскольку у нас есть только один угол 60° (а остальные все равны 17°), мы можем поместить этот угол в любую вершину правильного 21-угольника, получив треугольник с нужными свойствами.
Таким образом, нам нужно определить, сколько у нас есть возможных выборов для положения угла 60°.
Для этого мы можем начать положить угол 60° в одну из вершин правильного 21-угольника. При этом у нас есть 21 различное место для этого (поскольку у нас есть 21 вершина).
После того, как мы выбрали место для нашего угла 60°, нам нужно выбрать две оставшиеся вершины из всех оставшихся вершин правильного 21-угольника.
Количество различных троек вершин, которые мы можем выбрать, можно найти с помощью сочетания из 2 элементов из оставшихся 20 вершин (поскольку одна вершина уже использована для угла 60°).
Таким образом, общее количество троек вершин, которые удовлетворяют условию задачи, равно произведению количества мест для угла 60° (21) и количества возможных выборов двух оставшихся вершин из 20 (сочетания из 2 элементов из 20).
Теперь давайте решим это:
Количество мест для угла 60°: 21
Количество возможных выборов двух оставшихся вершин из 20: C(20, 2) = 20! / (2! * (20-2)!) = 20! / (2! * 18!) = (20 * 19) / (2 * 1) = 190
Общее количество троек вершин: 21 * 190 = 3990
Ответ: количество троек вершин, удовлетворяющих условию задачи, равно 3990.
Надеюсь, эта подробная информация помогла понять решение задачи. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать их!
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать следующую идею: если треугольник имеет угол 60°, то две оставшиеся вершины должны быть соседними (так как они будут являться концами угла 60°).
Дано, что у нас есть правильный 21-угольник. Это означает, что все его углы равны между собой (все равны 360° / 21 = 17°).
Поскольку у нас есть только один угол 60° (а остальные все равны 17°), мы можем поместить этот угол в любую вершину правильного 21-угольника, получив треугольник с нужными свойствами.
Таким образом, нам нужно определить, сколько у нас есть возможных выборов для положения угла 60°.
Для этого мы можем начать положить угол 60° в одну из вершин правильного 21-угольника. При этом у нас есть 21 различное место для этого (поскольку у нас есть 21 вершина).
После того, как мы выбрали место для нашего угла 60°, нам нужно выбрать две оставшиеся вершины из всех оставшихся вершин правильного 21-угольника.
Количество различных троек вершин, которые мы можем выбрать, можно найти с помощью сочетания из 2 элементов из оставшихся 20 вершин (поскольку одна вершина уже использована для угла 60°).
Таким образом, общее количество троек вершин, которые удовлетворяют условию задачи, равно произведению количества мест для угла 60° (21) и количества возможных выборов двух оставшихся вершин из 20 (сочетания из 2 элементов из 20).
Теперь давайте решим это:
Количество мест для угла 60°: 21
Количество возможных выборов двух оставшихся вершин из 20: C(20, 2) = 20! / (2! * (20-2)!) = 20! / (2! * 18!) = (20 * 19) / (2 * 1) = 190
Общее количество троек вершин: 21 * 190 = 3990
Ответ: количество троек вершин, удовлетворяющих условию задачи, равно 3990.
Надеюсь, эта подробная информация помогла понять решение задачи. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать их!