Question

Внутри угла abc, меньшего 135 градусов, взяты точки m и n так, что углы abm= mbn=nbс, am перпендикулярен bm и anперпендикулярен bn. прямая mn пересекает луч bc в точкеk. найдите bn, если bm=24,; bk=3

Answer 1

На середине отрезке АВ возьмём точку О и проведём окружность радиусом АО=ОВ. Тогда наша окружность пройдёт через точки М и N, т.к. по условию  углы ∠AMB = ∠ANB = 90°.
Лучи BM и BN делят угол ABC на три равные части меньше 45°. Отсюда, равны углы ∠ABN = ∠MBC, т.к. содержат в себе по две равные доли угла АВС.
Углы ∠BAN и ∠BMN опираются на одну и ту же дугу ∪BN, следовательно, эти углы равны: ∠BAN = ∠BMN. Значит, треугольники ΔBAN и ΔBMK подобны по двум углам, и угол ∠BKM = 90°, как ∠ANB.
Найдём МК по теореме Пифагора:
$MK = \sqrt{BM^2-BK^2} = \sqrt{24^2-3^2} = \sqrt{567} =9 \sqrt{7}$
Рассмотрим треугольник ΔMBK. Биссектриса треугольника BN делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
 $\frac{MN}{NK} = \frac{BM}{BK} = \frac{24}{3} =8$
С другой стороны, ранее мы нашли, что $MN + NK = MK = 9 \sqrt{9}$.
Составляем систему уравнений и решаем:
$\left \{ {{MN + NK = 9 \sqrt{7}} \atop {\frac{MN}{NK} =8}} \right. \\ \\ MN=8NK \\ \\ 8NK+NK=9 \sqrt{7} \\ \\ NK= \sqrt{7}$
По теореме Пифагора находим BN:
$BN= \sqrt{NK^2+BK^2} = \sqrt{( \sqrt{7})^2+3^2 } = \sqrt{7+9} =4$

ответ: 4