МатБюро Теория вероятностей Учебник по теории вероятностей Сложение и умножение вероятностей
Учебник по теории вероятностей
1.4. Сложение и умножение вероятностей
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записывается как A⊂B.
События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается очевидно: А = В.
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
P(A+B)=P(A)+P(B).
Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:
P(
n
∑
i=1 Ai)=
n
∑
i=1 P(Ai).
Если случайные события A1,A2,...,An образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A1)+P(A2)+...+P(An)=1. Такие события (гипотезы) используются при решении задач на полную вероятность.
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.
Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле
P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A⋅B).
События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
P(A⋅B)=P(A)⋅P(B).
Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности.
Примеры решений задач с событиями
Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.
Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,
;
1 а) 9^2=81 2А) -6^2=-36
(9^2)=81 -(-6^2)=36(минус на минус даёт +)
9^2=81 -6^2=36
ответ:81 ответ:36
1 б)4^3=64 2б) -3^3=-27
(4^3)=64 -(-3^3)=27(минус на минус даёт +)
4^3=64 3^3=27
ответ:64 ответ:27
как получается:
9^2 это 9*9=81
-6^2 это 6*6=-36
4^3 это 4*4*4=64
-3^3 это 3*3*3=-27
История дорожных знаков
Дарья Завьялова - 30 марта 2011
Как только человек «придумал» дороги, ему понадобились дорожные знаки, например для того, чтобы обозначать маршруты. Для этих целей древние люди использовали все подручные средства: обломанные ветки, зарубки на коре деревьев, камни определенной формы, установленные вдоль дорог. Не самый информативный вариант, да и отломанную ветку не всегда сразу увидишь, поэтому люди задумались о том, как отделить знак от пейзажа. Так вдоль дорог начали ставить статуи, например греческие гермы – четырехгранные столбы, завершенные скульптурной головой Гермеса (отсюда, собственно, и название). Потом, с пятого века до нашей эры, на гермах начали появляться головы и других персонажей: Вакха, Пана, фавнов, государственных деятелей, философов и других. Когда появилась письменность, на камнях начали делать надписи, чаще всего названия населенных пунктов.
Настоящую систему дорожных указателей разработали в Древнем Риме в третьем веке до нашей эры. В центре Рима у храма Сатурна установили золотой мильный столб, от которого отсчитывались все дороги, расходившиеся во все концы великой империи. На важных дорогах римляне устанавливали мильные столбы цилиндрической формы, на которые наносились надписи с информацией о расстоянии от Римского форума. Система мильных столбов получила широкое распространение не только в Римской империи, ее применяли во многих странах, в том числе и в России, где впервые верстовые столбы установили по указу Федора Ивановича на дороге от Москвы до Коломенского. Позже, при Петре I, вышел указ «ставить верстовые столбы крашенные и подписанные цифрами, ставить по верстам на перекрёстках руки с надписанием, куда которая лежит». Впрочем, простой цифры на столбе оказалось мало, и на них начали наносить дополнительную информацию: название местности, границы владений, расстояние.

Первые дорожные знаки в современном понимании появились в 1903 году во Франции. Толчком для пересмотра системы дорожного оповещения стало появление первых автомобилей и, соответственно, аварии, которые неизбежно случались то тут, то там. Автомобиль был быстрее конного экипажа и в случае опасности затормозить так быстро, как обычный конь, железный просто не мог. Кроме того, лошадь – живая, она сама среагировать, не дожидаясь решения кучера. Впрочем, аварии были довольно редким явлением, но вызывали огромный интерес общественности именно потому, что и были редкостью. Чтобы унять общественность, на улицах Парижа были установлены три дорожных знака: «крутой спуск», «опасный поворот», «неровная дорога».