Question

На столе лежат 2005 монет. двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. кто выиграет при правильной игре?

Answer 1

При правильной игре выигрывает первый.
После того, как оба игрока совершили очередной ход, чётность количества монет на столе меняется - после 1-го хода их чётное количество, после 2-го нечётное и т.д.
Игроки совершили по n ходов.
Пусть после n-го хода второго игрока на столе осталось от 102 до 200 монет. 
1
Если осталось чётное количество монет, то первый может сделать такой ход, чтобы после него на столе осталась 101 монета. Тогда после хода второго на столе останется от 1 до 99 монет (нечётное количество).
Например:
n-й ход: осталось 180 монет.
(n+1)-й ход: первый берёт 79 монет, на столе остаётся 180-79 = 101 монета. После хода второго монет останется от 1 до 99, которые заберёт первый.

2
Если осталось нечётное количество монет, то первый может сделать такой ход, чтобы после него на столе осталось 102 монеты. Тогда после хода второго на столе останется от 2 до 100 монет (чётное количество). Следующий ход первого сделает количество монет на столе нечётным, и второй не сможет забрать их все.
Например:
n-й ход: осталось 181 монет.
(n+1)-й ход: первый берёт 79 монет, на столе остаётся 181-79 = 102 монеты. После хода второго монет останется от 2 до 100 монет, после (n+2)-го хода первого игрока на столе останется от 1 до 99 монет, после (n+2)-го хода второго останется от 1 до 97 монет, которые заберёт первый на следующем ходу.