Question

Найти экстремум функции z=f(x; y) z=2x^2+5xy+5y^2+x-5y-2

Answer 1

Для нахождения экстремума функции нескольких переменных необходимо:
1) найти частные производные
2) приравнять их к нулю и составить систему из получившихся уравнений
3) найти решение этой системы - стационарную точку или точки
4) определить характер этой точки - точка максимума, минимума или седловая точка.

1) находим частные производные
$z_x'=4x+5y+1$
$z_y'=5x+10y-5$

2) приравнять их к нулю и составить систему из получившихся уравнений
$\left \{ {4x+5y+1=0} \atop {5x+10y-5=0}} \right.$

3) найти решение этой системы
$\left \{ {4x+5y=-1} \atop {5x+10y=5}} \right.$
$\left \{ {8x+10y=-2} \atop {5x+10y=5}} \right.$
$\left \{ {3x=-7} \atop {5x+10y=5}} \right.$
$\left \{ {x=- \frac{7}{3} } \atop {-5* \frac{7}{3}+10y=5}} \right.$
$\left \{ {x=- \frac{7}{3} } \atop {10y= \frac{50}{3} }} \right.$
$\left \{ {x=- \frac{7}{3} } \atop {y= \frac{5}{3} }} \right.$
Стационарная точка - (-7/3,5/3)

4) определить характер этой точки - точка максимума, минимума или седловая точка.
Для определения характера стац. точки составим гессиан - матрицу частных производных второго порядка. 
Если гессиан состоит из констант, то функция имеет один глобальный экстремум.
Если главные миноры матрицы положительные, то точка является точкой минимума.
Если знаки главных миноров матрицы чередуются, начиная с минуса, то точка является точкой максимума.

$z_{xx}''=4$
$z_{xy}''=z_{yx}''=5$
$z_{yy}''=10$

$H= \left[\begin{array}{cc}4&5\\5&10\end{array}\right]$
$H_1=4$
$H_2=4*10-5*5=40-25=15$

Главные миноры гессиана строго положительные, а сам гессиан состоит из констант. Из этого можно сделать следующий вывод:

в точке (-7/3,5/3) функция имеет глобальный минимум.