Question

Комплексное число в степени. z^20=(-1+i)^20

Answer 1

Рассмотрим $z=-1+i$. Модуль комплексного числа: $|z|= \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2}$

Тогда $z=\sqrt{2} \bigg(- \dfrac{1}{\sqrt{2} } +i\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2} } \bigg)=\sqrt{2} \bigg(\cos \dfrac{3 \pi }{4} +i\sin\dfrac{3 \pi }{4}\bigg)$

И согласно формуле Муавра:

  $z^{20}=2^{1/2\cdot20}\cdot\bigg(\cos\dfrac{3 \pi \cdot20}{4}+i\sin\dfrac{3 \pi \cdot20}{4}\bigg)=2^{10}\bigg(\cos15 \pi +i\sin15 \pi \bigg)=-2^{10}$

Answer 2

$\displaystyle (-1+i)^{20}=\left((-1+i)^2\right)^{10}=(1-2i-1)^{10}=(-2i)^{10}=2^{10}\times i^{10}= \\ \\ 2^{10}\times \left(i^2\right)^5=2^{10}\times(-1)^5=-2^{10}=-1024$