Question

Верно ли , что уравнение |x-2|+|x-5|=3 имеет бесконечно много корней?

Answer 1

да,ну вот если решать так:

х-2+х-5=3

2х-7=3

2х=10

х=5 то есть как уравнение, то получится +-5,ну те множество корней, получается,что имеет много корней

Answer 2

Нет, не верно.
Рассмотрим уравнение.
1) Находим нули подмодульных выражений.
x-2=0                                    x-5=0
x=2                                       x=5

2) Отмечаем эти точки на координатной оси.
Получаем отрезки (-бесконечность; 2);          [2;5];    (5; + бесконечность)

3) Решаем уравнения.
Рассмотрим три случая.
х равен числу из отрезка (-бесконечность; 2).
Подставляя из этого отрезка любое число в исходное уравнение, видим, что под первым модулем и вторым тоже число получится отрицательным (например 1-2 = -1).
Значит, наше уравнение приобретает вид
2 - х + 5 - х = 3
7 - 2х = 3, откуда легко находим х=2, но число 2 не входит в наш промежуток.
Второй случай отрезок [2; 5]. В первом модуле число будет положительным, во втором - отрицательным (возьмем например 3 -1 и 3 - 5).
Значит наше уравнение приобретает вид
х - 2 + 5 - х = 3
Иксы уничтожаются, как противоположные по знаку, остается 3 = 3, т.е.  любой х из интервала [2; 5] является корнем уравнения.
Третий случай отрезок (5; + бесконечность).
Оба модуля положительные. Уравнение будет вида х - 2 + х - 5 = 3 откуда находим х = 5, но 5 не входит в наш интервал.
Получается, что корней уранения много, но все же их конечное количество и все они лежат в интервале от 2 до пяти включительно [2;  5 ]