Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: заранее

Answer 1

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

$k^2-k=0;~~~~ k(k-1)=0;~~~ k_1=0;~~ k_2=1$

$\overline{y}=C_1+C_2e^x$

Рассмотрим функцию $f(x)=x^3$

$\alpha =0$ ;   $P_n(x)=x^3;~~~\Rightarrow~~~n=3$

Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимая, что n=3, частное решение будем искать в виде:
   $\widetilde{y}=x\bigg(Ax^3+Bx^2+Cx+D\bigg)=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx$

$y'=4Ax^3+3Bx^2+2Cx+D\\ y''=12Ax^2+6Bx+2C$

И подставляем все эти данные в исходное уравнение
$12Ax^2+6Bx+2C-4Ax^3-3Bx^2-2xC-D=x^3\\ -4Ax^3+x^2\bigg(12A-3B\bigg)+x\bigg(6B-2C\bigg)+\bigg(2C-D\bigg)=x^3$

Приравниваем коэффициенты при степени х.

$\begin{cases} & \text{ } -4A=1 \\ & \text{ } 12A-3B=0 \\ & \text{ } 6B-2C=0\\ & \text{ } 2C-D=0 \end{cases}~~~~\Rightarrow~~~~ \begin{cases} & \text{ } A=- \dfrac{1}{4} \\ & \text{ } B=-1 \\ & \text{ } C=-3 \\ & \text{ } D=-6 \end{cases}$

Частное решение: $\widetilde{y}=- \dfrac{x^4}{4} -x^3-3x^2-6x$

Тогда общее решение неоднородного уравнения :

                                     $\boxed{y=\overline{y}+\widetilde{y}=C_1+C_2e^x- \dfrac{x^4}{4} -x^3-3x^2-6x}$