Question

Известно, что a/(b+c-3a) = b/(a+c-3b) = c/(a+b-3c) . найдите все возможные различные значения выражения 3b/a + 3c/a +a/c + b/c. в ответ запишите сумму найденных значений.

Answer 1

Пусть a/(b + c - 3a) = b/(a + c - 3b) = c/(a + b - 3c) = -1/k. Тогда выполняются три равенства
-ka = -3a + b + c
-kb = a - 3b + c
-kc = a + b - 3c

(k - 3)a + b + c = 0
a + (k - 3)b + c = 0
a + b + (k - 3)c = 0

У этой системы должно быть нетривиальное решение, значит, определитель матрицы этой системы равен нулю.
$\det\begin{pmatrix} k-3&1&1\\ 1&k-3&1\\ 1&1&k-3 \end{pmatrix}=0\\ \det\begin{pmatrix} k-3&1&1\\ 1&k-3&1\\ 1&1&k-3 \end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} k-3&1&1\\ k-2&k-2&2\\ k-1&k-1&k-1 \end{pmatrix}=\\=(k-1)\det\begin{pmatrix} k-3&1&1\\ k-2&k-2&2\\ 1&1&1 \end{pmatrix}=(k-1)\det\begin{pmatrix} k-4&0&0\\ k-4&k-4&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix}=\\=-(k-1)(k-4)^2$

(k - 1)(k - 4)^2 = 0, откуда k = 1 или k = -4

Если k = 1, то система превращается в такую:
-2a + b + c = 0
a - 2b + c = 0
a + b - 2c = 0
Решив её, получаем a = b = c. В этом случае 3b/a + 3c/a + a/c + b/c = 3 + 3 + 1 + 1 = 8

Если k = 4, система принимает вид
a + b + c = 0
a + b + c = 0
a + b + c = 0
Тогда 3b/a + 3c/a + a/c + b/c = 3(b + c)/a + (a + b)/c = 3 * (-a)/a + (-c)/c = -3 - 1 = -4

Сумма значений 8 + (-4) = 4