Question

Мне исследовать функцию (подробно) , и построить график у=3х^3 - x^4

Answer 1

1) ООФ: x∈R

2) y(-x) = 3*(-x)³-(-x)^4 = -3x³-x^4 ≠ y(x), ≠ -y(x) - функция общего вида (не чётная, не нечётная).

3) пересечение с осями
С OY, x=0:
y=0
(0; 0)

С OX, y=0:
3x³-x^4 = 0
x³(3-x) = 0
x = 0, x = 3
(0; 0), (3; 0) - две точки

4) асимптоты:
вертикальных нет.
горизонтальные:
lim(3x³-x^4) = -∞ - горизонтальных нет
наклонные:  
lim(3x²-x³) = -∞ - наклонных нет.

5) крит. точки, интервалы возрастания и убывания:
y' = 9x²-4x³
9x²-4x³ = 0
x²(9-4x) = 0
x = 0, x = 9/4 = 2,25
При x∈(-∞; 0) y'(x) > 0 - функция возрастает
При x∈(0; 2,25) y'(x) > 0 - функция возрастает
При x∈(2,25; +∞) y'(x) < 0 - функция убывает
(2,25; 0) - точка максимума.

6) точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости:
y'' = 18x-12x²
18x-12x² = 0
6x(3-2x) = 0
x = 0, x = 3/2
При x∈(-∞; 0) y''<0 - функция выпукла
При x∈(0; 3/2) y''>0 - функция вогнута
При x∈(3/2; +∞) y''<0 - функция выпукла
y(0) = 0
y(3/2) = 81/16 ≈ 5
(0; 0), (3/2; 5) - точки перегиба.

7) график - см. рисунок

Answer 2

D(y)∈R
y(-x)=-3x³-x^4 ни четная,ни нечетная
y`=9x²-4x³=x²(9-4x)=0
x=0  x=9/4
  +                 +                        _
(0)(9/4)
убыв min возр            max  убыв
ymin=0
ymax=729/64*(3-9/4)=729/64*3/4=2187/216
y``=18x-12x²=6x(3-2x)=0
x=0  x=3/2
  _                       +                          _
(0)(3/2)
выпук вверх   вогн вниз             выпук вверх
у(0)=0
у(3/2)=27/8*(3-3/2)=27/8*3/2=81/16
(0;0) и (3/2;51/16) точки перегиба