Рассмотрим треугольник СЕК, где К -середина СД.Пусть а - сторона квадрата. ЕК равна а+(высота равностороннего треугольника со стороной а). Эта высота равна а*sqrt(3)/2. Т.е. ЕК=(2+sqrt(3))*а/2. Тангенс угла СЕК=2/(4+2*sqrt(3))= 1/(2+sqrt(3)) Если О - центр окружности радиус которой мы ищем, то угол СОК вдвое больше, чем СЕК. Синус СОК через тангенс половинного угла равен 2(2+sqrt(3))/(8+4sqrt(3))=1/2. Искомый радиус равен СК деленному на синус СОК., т.е. (a/2)/(1/2) =a , т.к. а=4, то радиус равен 4. Конечно лучше было сразу заметить, что угол СЕК=15 градусам! ( это ясно из того, что треугольник СВЕ равнобедренный с углом при вершине равным 15 градусам, а угол СЕК равен 30 градусов минус угол СЕВ, равный 15 градусам) ответ: радиус равен стороне квадрата, т.е. 4
Попробуем решить задачу в общем виде. Пусть точка О - центр окружности, проходящей через точки Е,С и D. Эта точка лежит на прямой, соединяющей точки Е и F, где точка F - середина стороны СD квадрата. Это ясно из того, что радиус, перпендикулярный к хорде СD, делит эту хорду пополам. OF=EF-OE или OF=EF-R. EF=a+a(√3/2), где a(√3/2) - высота равностороннего треугольника АЕВ. Итак, OF=a(2+√3)/2-R. По Пифагору в треугольнике FOC квадрат гипотенузы ОС (равной радиусу R) равен ОС²=ОF²+FС² или R²=(a(2+√3)/2-R)²+а²/4. Решим это уравнение. R²=a²(2+√3)²/4-a(2+√3)R+R²+a²/4. a(2+√3)R=[a²(2+√3)²+a²]/4 = a²[4+4√3+3+1]/4; (2+√3)R=a*4(2+√3)/4 = a*(2+√3). Отсюда R=a. ответ: R=5.
P.S. Еще проще: если из точек С и D провести прямые, параллельные ВЕ и АЕ, то они пересекутся в точке О и тогда сразу видно, что ОЕ=ОС=ОD, так как ОЕВС и ОЕАD - параллелограммы. Следовательно, R=a.
22:5=4 (остаток 2)
19:9=2 (остаток 1)
21:8=2 (остаток 5)