Question

Решить дифференциальное уравнение второго порядка.нужно найти общее решение этого уравнения и определить частное решение. 1)y'(x^2+1)=2xy' при y(0)=1 , y'(0)=3 2)y''=√1-(y')^2 при y(п/2)=3 , y'(п/2)=1

Answer 1

1) Тут, очевидно, опечатка. Должно быть так:
y''(x^2+1)=2xy'
Понижение порядка. Замена y'=z; z'=dz/dx
dz/dx*(x^2+1)=2xz
Уравнение с разделяющимися переменными
dz/z=2xdx/(x^2+1)
ln z=d(x^2+1)/(x^+1)=ln(x^2+1)+ln C1
z=C1*(x^2+1)
Обратная замена
y'=C1*(x^2 + 1)
y=C1*(x^3/3 + x) + C2
Теперь подставляем числа
y(0) = C1*(0/3 + 0) + C2 = C2 = 1
y'(0) = z(0) = C1*(0 + 1) = C1 = 3
ответ: y = 3(x^3/3 + x) + 1

2) y''=√(1-(y')^2)
Тоже замена y'=z; z'=dz/dx
dz/dx=√(1-z^2)
Тоже с разд. переменными
dz/√(1-z^2) = dx
arcsin z = x + C1
z = sin(x + C1)
Обратная замена
y' = sin(x + C1)
y = -cos(x + C1) + C2
Подставляем числа
y(Π/2) = -cos(Π/2 + C1) + C2 = 3
sin(C1) + C2 = 3
y'(Π/2) = z(Π/2) = sin(Π/2+C1)=1
cos(C1) = 1
C1 = 0
sin(C1) + C2 = sin 0 + C2 = C2 = 3
ответ: y = -cos x + 3