Определение 5. Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу). Иначе говоря, числовая последовательность {xn} ограничена сверху (снизу), если существует такое число c  R, что для всех номеров nвыполняется неравенство xn < c(соответственно неравенство xn > c). Последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной. Таким образом, числовая последовательность {xn} ограничена, если существуют такие числа a  R и b R, что для всех номеров n выполняется условие a < xn < b. Это условие, очевидно, равносильно тому, что существует такое число c > 0, что для всех номеров n имеет место неравенство
|xn| < c
Последовательность, не являющаяся ограниченной сверху (снизу), называется неограниченной сверху(снизу), а последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченой. Примером неограниченных последовательностей являются бесконечно большие последовательности Следует заметить, однако, что не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Так, последовательность
xn = (-1)nn + n
неограниченная, но не бесконечно большая.
Теорема. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена. Пусть последовательность xn  R, n = 1, 2, ..., имеет конечный предел = a  R. Тогда согласно определению предела последовательности взяв  = 1, получим, что существует такой номер n1, что для всех номеров n > n1 будет выполняться неравентсво
|xn - a| < 1
(5.29)
(в определении предела последовательности можно взять любое  > 0; мы взяли  = 1; рис. 51). Обозначим через d наибольшее из чисел 1, |x1 - a|, ..., . Тогда, очевидно, в силу условия (5.29) для всех n  N будет иметь место неравенство
|xn - a| < d,
Это и означает, что последовательность {xn} ограничена. 
Основная идея повести Рассказ показывает читателям то, что нельзя никогда сдаваться. Никакие трудности не должны помешать воплотить в реальность поставленные цели. Всегда нужно стараться найти решение любой проблемы. Кроме того, вера в чудо также может оказаться полезной. Гоголь в своей книге раскрывает тему народной жизни. Изображаются типичные сельские персонажи – сильный кузнец Вакула, красивая, но самовлюбленная Оксана, глупый и богатый казак Чуб, хитрая Солоха. Включив в сюжет мифических персонажей, таких как ведьма, черт, знахарь с летающими варениками, автор делает историю влюбленных сказочной. По повести был снят великолепный фильм. Краткое содержание В Диканьке наступила зимняя, ясная ночь перед Рождеством. Неожиданно из трубы одной из хат вылетела ведьма верхом на метле и, поднявшись к небу, начала собирать в рукав звезды. С другой стороны на небе появился черт. Он спрятал месяц в карман, и вокруг сразу сделалось темно. Сделал черт это для того, чтобы козак Чуб поленился идти по темноте и остался дома, а потому кузнец Вакула не смог прийти к его дочери Оксане. Так черт хотел отомстить кузнецу, который нарисовал его посрамленным на картине со Страшным судом.
Определение 5. Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу).
Иначе говоря, числовая последовательность {xn} ограничена сверху (снизу), если существует такое число
c  R, что для всех номеров nвыполняется неравенство xn < c(соответственно неравенство xn > c).
Последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной. Таким образом, числовая последовательность {xn} ограничена, если существуют такие числа a  R и b R, что для всех номеров n выполняется условие a < xn < b. Это условие, очевидно, равносильно тому, что существует такое число c > 0, что для всех номеров n имеет место неравенство
|xn| < c
Последовательность, не являющаяся ограниченной сверху (снизу), называется неограниченной сверху(снизу), а последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченой. Примером неограниченных последовательностей являются бесконечно большие последовательности Следует заметить, однако, что не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Так, последовательность
xn = (-1)nn + n
неограниченная, но не бесконечно большая.
Теорема. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Пусть последовательность xn  R, n = 1, 2, ..., имеет конечный предел = a  R. Тогда согласно определению предела последовательности взяв  = 1, получим, что существует такой номер n1, что для всех номеров n > n1 будет выполняться неравентсво
|xn - a| < 1
(5.29)
(в определении предела последовательности можно взять любое  > 0; мы взяли  = 1; рис. 51). Обозначим через d наибольшее из чисел 1, |x1 - a|, ..., . Тогда, очевидно, в силу условия (5.29) для всех
n  N будет иметь место неравенство
|xn - a| < d,
Это и означает, что последовательность {xn} ограничена.