1) Найти области определения и значений данной функции f.
Для аргумента и функции нет ограничений: их значения - вся числовая ось.
2) Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной:
f(-x)=(-x)³−1 = -x³−1 = -(x³+1). Значит, функция не чётная и не нечётная.
б) не периодическая.
3) Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат:
- пересечение с осью Оу (х = 0), у = -1.
- пересечение с осью Ох (у = 0), x³−1 = 0, x³ = 1, x = ∛1 = 1.
4) Найти промежутки знакопостоянства функции f.
На основе нулей функции имеем:
- функция отрицательна при х < 1 (x ∈ (-∞; 1),
- функция положительна при х > 1 (x ∈ (1; +∞).
5) на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.
Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точка.
Находим производную функции и приравниваем нулю.
y' = 3x² = 0, x = 0 это критическая точка. Находим знаки производной левее и правее этой точки. Так как переменная в квадрате, то знак её положителен. Значит, функция на всей области определения возрастает.
Поэтому не имеет ни минимума, ни максимума.
6) Вторая производная y'' = 6x. Поэтому в точке х = 0 функция имеет перегиб. При x < 0 график функции выпуклый, при x > 0 вогнутый.
7) Асимптот функция не имеет.
Корни такого уравнения определяются с дискриминанта.
D= b^2-4ac= p^2-4·1·q=p^2-4q.
Корни уравнения определяются по формулам:
х1=(-b+корень из D)/(2a) = (-p+корень(p^2-4q))/2.
x2=(-b-корень из D)/(2a) = (-p-корень(p^2-4q))/2.
По условию p и q являются корнями уравнения. Значит, нужно решить две системы уравнений:
1)х1=p; x2=q.
2) x1=q; x2=p.
Подставим выражения для х1 и х2.
1) (-р+корень(р^2-4q))/2=p;
(-p-корень(p^2-5q))/2=q.
2) (-p+корень(p^2-4q))/2=q.
(-p-корень(p^2-4q)=p.
Умножим на два все части уравнений, чтобы избавиться от дробей и оставим в левой стороне только корень из дискриминанта.
1) корень(p^2-4q)=3 p.
корень(p^2-4q)=-2q-p.
Т.е. 3р=-2q-p.
4p=2q.
q=2p.
Возведем в квадрат первое уравнение первой системы.
p^2-4q=9p^2. Подставим q=2p.
8p^2=-4q=-4·2p. p=-1. q=-2.
Второй ответ р=0, q=0.
2) корень(p^2-4q)=2 q +p.
корень(p^2-4q)=-3p.
Отсюда 2q+p=-3p. q=-2p.
Возведем в квадрат второе уравнение второй системы.
p^2-4q=9p^2.
8p^2=-4q=8p. p=1. q=-2.
Второй ответ р=0, q=0.
ответ к заданию: 1) q=p=0; 2) q=-2, p=1; 3) q=-2, p=-1.