Question

F(x)=x^3-2x-1 x0=1 : 1) для функции y=f(x) найти: 1)область определения; 2)производную; 3)критические точки; 4)промежутки монотонности и экстремумы. по результатам исследований составить таблицу. y=f(x). ii. постройте график функций в одной системе координат (цветным). iii. напишите уравнение касательной к графику, проходящей через точку xo. вычеслите угол наклона этой касательной

Answer 1

ДАНО

Y= x³ - 2*x - 1

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х.  Корни: х₁,₂ = 1/2 +/-√5/2,  х₃ = -1. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = -1. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞.

Горизонтальной асимптоты - нет. 

5. Исследование на чётность.Y(-x) = -x³ + 2*x- 1≠ - Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= 3*x² - 2 = 0   . 

Корни: х₁= -√6/3 , х₂ = √6/3. 

Схема знаков производной - отрицательная между корнями.

(-∞)_положит_(x₁)__ отрицат. _(x₂)_положит____(+∞)__

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(- √6/3)= -1 +4/9*√6 ≈ 0.089, минимум – Ymin(√6/3)=-1 -4/9*√6 ≈ - 2.089. 

8. Интервалы монотонности.

Возрастает - Х∈(-∞;x₁)∪(x₂;+∞) , убывает = Х∈[x₁; x₂]. 

8. Вторая производная - Y"(x) = 6*x=0. 

Корень производной - точка перегиба Y"(0)= 0. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;0], Вогнутая – «ложка» Х∈[0;+∞). 

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞) 

11. Наклонная асимптота. Уравнение: У = lim(∞)(k*x+b – f(x).  

k=lim(∞)Y(x)/x = x² - 2 - 1/x. = ∞. Наклонной асимптоты - нет

12. График в приложении.

13. Уравнение касательной. 

F = Y'(Xo)*(x - Xo) + Y(Xo)

Y'(Xo) = 1, Y(Xo) = - 2

Уравнение касательной Y = x  - 3 

14. график касательной в приложении.