Question

Исследовать функцию и построить график y=1/1+x^2

Answer 1

ДАНО

Y = 1/(x²+1)

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. Y= 0. Корней - нет:

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 1. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = 0  limY(+∞) = 0.

Горизонтальная асимптота - Y = 0.  

5. Исследование на чётность.Y(-x) = -  Y(x).

Функция чётная. 

6. Производная функции.

$Y'(x) =- \frac{2x}{(x^2+1)^2}=0$   . 

Корень: х=0 . 

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(0)= 1, 

8. Интервалы монотонности.

Возрастает - Х∈(-∞;0] , убывает = Х∈[0;+∞). 

8. Вторая производная.

$Y"(x)= \frac{8x^2}{(x^2+1)^3}- \frac{2}{(x^2+1)^2}$

Корнb производной - точки перегиба  - Х1,2 = +/- √3/3 ≈ +/- 0,58

9. Выпуклая “горка» Х∈(-√3/3;√3/3), Вогнутая – «ложка» Х∈(+∞;-√3/3)∪(√3/3;+∞). 

10. Область значений Е(у) У∈(0;1] 

11. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(∞)(k*x+b – f(x).  

k=lim(∞)Y(x)/x = 0. Наклонная асимптота совпадает с горизонтальной.

12. График в приложении.