Рассмотрим свойства числовых неравенств, которые часто используется при доказательстве других свойств неравенств и при решении многих задач Теорема. Если a > b, и b > c, то a > c. По условию a > b, и b > c. Это означает, что a - b>0 и b - c > 0. Сложим положительные числа a - b и b - c, получим (a - b) + ( b - c) = a - c - положительное число, т.е. a-c>0. А это означает, что a > c.
Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой разности квадратов. Формула разности квадратов утверждает, что разность двух квадратов может быть представлена как произведение суммы и разности этих квадратов.
В данном случае, у нас есть двучлен с^2 - 4. Мы видим, что первое слагаемое является квадратом, а второе - четырёх. Поэтому мы можем представить данное выражение как разность двух квадратов.
Сначала, давайте представим с^2 в виде квадрата:
с^2 = (с)^2.
Также, по формуле разности квадратов:
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).
Применим эту формулу, где a = с, а b = 2:
с^2 - 4 = (с + 2)(с - 2).
Таким образом, двучлен с^2 - 4 может быть представлен в виде произведения (с + 2) и (с - 2).
Обоснование:
Мы знаем, что формула разности квадратов справедлива, потому что ее можно доказать алгебраически. Разность квадратов a^2 - b^2 всегда равна произведению (a + b) и (a - b). Поэтому, когда у нас есть двучлен с^2 - 4, мы можем представить его в виде произведения (с + 2) и (с - 2).
Шаги решения:
1. Записываем данный выражение с^2 - 4.
2. Замечаем, что первое слагаемое является квадратом, а второе - четырёх.
3. Представляем с^2 в виде квадрата: с^2 = (с)^2.
4. Применяем формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).
5. Заменяем a на c и b на 2: (с + 2)(с - 2).
6. Таким образом, двучлен c^2 - 4 можно представить в виде произведения (c + 2) и (c - 2).
Надеюсь, объяснение было понятным! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.
Задача 1:
Найдите координаты векторов 2а-b если а(-4;1;5), b (3;-5;-1).
Для решения этой задачи умножим каждую координату вектора а на 2 и вычтем из полученного результата каждую координату вектора b.
2а = 2 * (-4;1;5) = (-8;2;10)
2а - b = (-8;2;10) - (3;-5;-1) = (-8-3; 2-(-5); 10-(-1)) = (-11; 7; 11)
Таким образом, координаты вектора 2а-b равны (-11; 7; 11).
Задача 2:
Выясните, при каких значениях s и t, вектор а(3;s;4) и b(t;1;-8) являются коллинеарными.
Два вектора коллинеарны, если они пропорциональны друг другу. То есть, если каждая координата вектора а можно выразить через координаты вектора b умноженные на одно и то же число, то вектора коллинеарны.
3 = t * k
s = 1 * k
4 = (-8) * k
Решим систему уравнений:
3 = t * k
s = k
4 = -8k
Из первого уравнения получаем, что k = 3/t
Подставляем это значение во второе уравнение:
s = 3/t
Теперь подставим k в третье уравнение:
4 = -8 * (3/t)
Преобразуем это уравнение:
4 = -24/t
4t = -24
t = -6
Теперь, подставим найденное значение t во второе уравнение:
s = 3/(-6)
s = -1/2
Таким образом, векторы а(3;-1/2;4) и b(-6;1;-8) будут коллинеарными при значениях s = -1/2 и t = -6.
Задача 3:
Найдите координаты точки K, если А (0;3;4); B(1;4;4), а точка K - середина AB.
Чтобы найти середину отрезка, нужно просуммировать координаты точек A и B и разделить полученную сумму на 2.
Координаты точки K будут равны средним значениям соответствующих координат точек A и B:
K = ( (0+1)/2 ; (3+4)/2 ; (4+4)/2 ) = ( 1/2 ; 7/2 ; 8/2 ) = ( 1/2 ; 7/2 ; 4 )
Таким образом, координаты точки K равны ( 1/2 ; 7/2 ; 4 ).
Задача 4:
Найдите скалярное произведение векторов а(-1;3;2) и b(4;5;0).
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат векторов.
Скалярное произведение a и b:
а*b = (-1*4) + (3*5) + (2*0) = -4 + 15 + 0 = 11
Таким образом, скалярное произведение векторов а и b равно 11.
Задача 5:
Вычислите угол между векторами MN и KP, если M(3;-2;4), N (4;-1;2), K(6;-3;2), P(7;-3;1).
Угол между векторами можно вычислить по формуле:
cos(θ) = (MN * KP) / (|MN| * |KP|)
Первым шагом рассчитаем векторы MN и KP:
MN = N - M = (4;-1;2) - (3;-2;4) = (4-3; -1-(-2); 2-4) = (1;1;-2)
KP = P - K = (7;-3;1) - (6;-3;2) = (7-6; -3-(-3); 1-2) = (1;0;-1)
Скалярное произведение MN и KP:
MN * KP = (1*1) + (1*0) + (-2*-1) = 1 + 0 + 2 = 3
Теперь рассчитаем длины векторов MN и KP:
|MN| = sqrt(1^2 + 1^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 1 + 4) = sqrt(6)
|KP| = sqrt(1^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(1 + 0 + 1) = sqrt(2)
Подставим полученные значения в формулу для вычисления cos(θ):
cos(θ) = 3 / (sqrt(6) * sqrt(2))
Упростим выражение:
cos(θ) = 3 / (sqrt(12))
Таким образом, угол θ между векторами MN и KP вычисляется как:
θ = acos(3 / (sqrt(12)))
Но для получения конкретного значения угла нужно использовать калькулятор или таблицы значений тригонометрических функций.
В итоге, угол θ вычисляется как acos(0.866) примерно равный 30.96 градусов (округлим до двух десятичных знаков).
Теорема. Если a > b, и b > c, то a > c.
По условию a > b, и b > c. Это означает, что a - b>0 и b - c > 0.
Сложим положительные числа a - b и b - c, получим (a - b) + ( b - c) = a - c - положительное число, т.е. a-c>0.
А это означает, что a > c.