Пусть общее количество ваз, которое у нас есть, будет обозначено буквой v, а общее количество яблок - буквой a.
1) По условию, если в каждую вазу положить по 2 яблока, останется 1 пустая ваза. Это означает, что количество яблок, которое мы можем положить во все вазы, составляет 2 * v + 1.
2) Также по условию, если в каждую вазу положить по 1 яблоку, для 2 яблок не хватит места. Это означает, что количество яблок, которое мы можем положить во все вазы, составляет v.
Таким образом, у нас получается два уравнения:
2 * v + 1 = a
v = a - 2
3) Теперь мы можем решить это систему уравнений методом подстановки. Заменим v в первом уравнении на выражение a - 2:
2 * (a - 2) + 1 = a
Распределим коэффициенты:
2a - 4 + 1 = a
2a - 3 = a
Вычтем a из обеих частей уравнения:
a - 3 = 0
Прибавим 3 к обеим частям уравнения:
a = 3
Таким образом, мы получили, что общее количество яблок равно 3.
4) Теперь, чтобы найти общее количество ваз, подставим значение a = 3 во второе уравнение:
v = 3 - 2
v = 1
Итак, мы получили, что общее количество ваз равно 1.
1. Запишем окрестность точки a=2 радиуса r=0,7 в виде интервала:
Окрестность точки a радиуса r представляет собой интервал (a - r, a + r). В данном случае a = 2 и r = 0,7.
Подставим значения в формулу: (2 - 0,7, 2 + 0,7)
Упростим: (1,3, 2,7)
Ответ: Окрестность точки a=2 радиуса r=0,7 записывается в виде интервала (1,3, 2,7).
2. Вычислим предел limn→∞ xn, если xn = 9⋅2^(-n):
Предел представляет собой значение, к которому стремится последовательность xn при n → ∞.
В данном случае xn = 9⋅2^(-n).
Подставим n = ∞ в выражение xn: 9⋅2^(-∞).
Поскольку 2^(-∞) стремится к 0, предел равен 9⋅0 = 0.
Ответ: Предел последовательности xn = 9⋅2^(-n) при n → ∞ равен 0.
3. Вычислим предел limn→∞ xn, если xn = 4n + 2n + 1:
В данном случае xn = 4n + 2n + 1.
Подставим n = ∞ в выражение xn: 4∞ + 2∞ + 1.
Поскольку при n → ∞ соответствующие члены последовательности стремятся к бесконечности, предел такого выражения не существует.
Ответ: Предел последовательности xn = 4n + 2n + 1 при n → ∞ не существует.
4. Найдем номер n того члена последовательности (xn), начиная с которого все члены попадут в окрестность точки a радиуса r:
В данном случае xn = 16n, a = 0, r = 0,05.
Подставим значения в выражение xn: xn = 16n.
Для того чтобы xn попал в окрестность а радиуса r, его разница с а должна быть меньше r: |16n - 0| < 0,05.
Упростим неравенство: 16n < 0,05.
Разделим обе части неравенства на 16: n < 0,05/16.
Вычисляем: n < 0,003125.
Таким образом, начиная с n = 0,003125 (округляем в большую сторону) все члены последовательности будут попадать в окрестность точки a радиуса r.
Ответ: Номер n, начиная с которого все члены последовательности (xn) попадут в окрестность точки a=0 радиуса r=0,05, равен 1.
5. Проверим, существует ли номер n0, начиная с которого все члены последовательности (xn) принадлежат окрестности точки a=0 радиуса r=0,1:
В данном случае xn = -6n и r = 0,1.
Подставим значения в выражение xn: xn = -6n.
Для того чтобы xn попал в окрестность а радиуса r, его разница с а должна быть меньше r: |-6n - 0| < 0,1.
Упростим неравенство: 6n < 0,1.
Разделим обе части неравенства на 6: n < 0,1/6.
Вычисляем: n < 0,0166667.
Таким образом, начиная с n = 0,0166667 (округляем в большую сторону) все члены последовательности будут попадать в окрестность точки a радиуса r.
Ответ: Номер n0, начиная с которого все члены последовательности (xn) принадлежат окрестности точки a=0 радиуса r=0,1, равен 1.
6. Вычислим предел limn→∞ xn, если xn = 8 + 8n + 7n^2/2^n:
В данном случае xn = 8 + 8n + 7n^2/2^n.
Подставим n = ∞ в выражение xn: 8 + 8∞ + 7∞^2/2^∞.
Поскольку ∞^2 и 2^∞ стремятся к бесконечности, а ∞ стремится к бесконечности быстрее, предел равен бесконечности.
Ответ: Предел последовательности xn = 8 + 8n + 7n^2/2^n при n → ∞ равен бесконечности.
7. Найдем предел последовательности xn = (3 - n)(n^2 + 11) + n^3/n^2 + 10n:
Предел последовательности можно найти, упростив выражение:
xn = (3 - n)(n^2 + 11) + n^3/n^2 + 10n = (3n^2 + 33 - n^3 - 11n) + n^3/n^2 + 10n.
Упрощаем выражение, сокращая некоторые слагаемые: (3n^2 + 33) + 10n.
Выносим общий множитель из каждого слагаемого: n(3n + 10) + 33.
Поскольку каждое слагаемое содержит множитель n, а n стремится к бесконечности, предел равен бесконечности.
Ответ: Предел последовательности xn = (3 - n)(n^2 + 11) + n^3/n^2 + 10n при n → ∞ равен бесконечности.
