Чтобы найти градиент функции z=2x^2-3xy+y^3 в точке M0 (2;1), мы должны вычислить частные производные этой функции по переменным x и y в точке M0 и затем описать их вектором.
По определению, частная производная по переменной x означает, что мы считаем все переменные, кроме x, постоянными и дифференцируем функцию только по x. Аналогично, частная производная по переменной y означает, что мы считаем все переменные, кроме y, постоянными и дифференцируем функцию только по y.
Теперь, чтобы найти градиент в точке M0, мы подставим значения x=2 и y=1 в найденные частные производные:
∂z/∂x (M0) = 4*2 - 3*1 = 8 - 3 = 5
∂z/∂y (M0) = -3*2 + 3*1^2 = -6 + 3 = -3
Таким образом, градиент функции z=2x^2-3xy+y^3 в точке M0 (2;1) равен вектору (5, -3).
Обоснование: Градиент функции представляет собой вектор, указывающий направление наибольшего роста функции в данной точке. Вектор градиента также перпендикулярен поверхности уровня функции в точке M0 и указывает направление наискорейшего роста функции. Таким образом, вектор (5, -3) указывает направление наибольшего роста функции z=2x^2-3xy+y^3 в точке M0 (2;1).
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойствами векторов и системами уравнений.
Итак, у нас дана сумма векторов a(x;-1) и b (2;y), которая равна вектору c(-3;4).
Первое свойство векторов, которое мы будем использовать, - это то, что сумма векторов равна вектору, полученному путем сложения соответствующих координат. То есть, для x-координаты: a + 2 = -3, а для y-координаты: -1 + y = 4.
Для нахождения x мы вычтем 2 с обеих сторон уравнения a + 2 = -3: a = -3 - 2 = -5.
Для нахождения y мы прибавим 1 к обеим сторонам уравнения -1 + y = 4: y = 4 + 1 = 5.
