а) Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3 и А4, мы можем воспользоваться уравнением плоскости, которое имеет следующий вид:
Ax + By + Cz + D = 0,
где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости, а D – свободный член.
Для того чтобы найти нормальный вектор плоскости, мы можем воспользоваться скалярным произведением двух векторов, лежащих в данной плоскости. Например, возьмем векторы А1А2 и А1А3:
Подставив значения в векторное уравнение прямой, мы получим уравнение прямой А1,2.
в) Чтобы составить уравнение прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1,2,3, мы можем воспользоваться следующим свойством: перпендикуляр к плоскости имеет направляющий вектор, параллельный нормальному вектору плоскости.
Так как мы уже вычислили нормальный вектор плоскости А1,2,3 в предыдущем пункте, мы можем использовать его значение как направляющий вектор для прямой А4М. Начальной точкой прямой будет точка А4(x4, y4, z4).
Таким образом, уравнение прямой А4М будет иметь вид:
r = А4 + t(А, B, C), где (А, B, C) - нормальный вектор плоскости А1,2,3.
г) Чтобы составить уравнение прямой А3N, параллельной прямой А1,2, мы можем использовать тот же направляющий вектор, что и у прямой А1,2. Начальной точкой прямой будет точка А3(x3, y3, z3).
Таким образом, уравнение прямой А3N будет иметь вид:
r = А3 + t(А2 - А1).
д) Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку А4 и перпендикулярной к прямой А1,2, мы можем использовать тот же нормальный вектор, что и для прямой А4М. Начальной точкой плоскости будет точка А4(x4, y4, z4).
Таким образом, уравнение плоскости будет иметь вид:
(Ax + By + Cz) + D = 0, где (A, B, C) - направляющий вектор прямой А1,2 и плоскости А4, перпендикулярной к ней.
е) Чтобы вычислить синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1,2,3, мы можем воспользоваться следующей формулой:
Давай рассмотрим каждое утверждение по очереди и проверим, могут ли они быть одновременно истинными.
Утверждение 1: "Учащийся А решил задачу, а учащийся В - нет".
Это утверждение говорит, что ученик А решил задачу, а ученик В не решил задачу. Это значит, что вариант, при котором оба ученика решили задачу одновременно, не может быть истинным. Следовательно, утверждение 1 и утверждение 2 не могут быть одновременно истинными.
Утверждение 2: "Хотя бы один из учащихся А, В и С решил задачу".
Это утверждение говорит, что хотя бы один из трех учеников А, В и С решил задачу. Если ученик А решил задачу, то утверждение 1 не может быть истинным, так как говорит, что ученик А не решил задачу. Таким образом, остается только один вариант – либо ученик В, либо ученик С решил задачу. Следовательно, утверждение 2 и утверждение 3 могут быть одновременно истинными.
Утверждение 3: "Ни учащийся В, ни учащийся С задачу не решили".
Это утверждение говорит, что ученики В и С оба не решили задачу. Это значит, что утверждение 1 не может быть истинным, так как говорит, что ученик В не решил задачу. При этом в утверждении 2 говорится, что хотя бы один из учеников А, В и С решил задачу, что противоречит утверждению 3. Таким образом, утверждение 3 не может быть истинным, если утверждения 1 и 2 истинны.
Итак, у нас получается, что утверждения 2 и 3 не могут быть одновременно истинными. Значит, все три утверждения не могут быть одновременно истинными.
Ответ: Утверждения "Учащийся А решил задачу, а учащийся В - нет", "Хотя бы один из учащихся А, В и С решил задачу" и "Ни учащийся В, ни учащийся С задачу не решили" не могут быть одновременно истинными.
7 2/3-3x=1 2/9-2 7/18
7 2/3-3x=-1 1/6
-3x=-7 2/3-1 1/6
-3x=-8 5/6
x=-8 5/6:(-3)
x=2 17/18