Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
Примем длину рёбер, равной 1.
Спроецируем отрезок SM на плоскость CSD - это будет SМ1.
Определим угол наклона боковой грани к основанию.
Проведём осевое сечение пирамиды перпендикулярно ребру CD.
Получим прямоугольный треугольник SОР. ОР = 1/2.
SР = 1*cos 30° = √3/2.
Высота SО = √((√3/2)² - (1/2)²) = √((3/4) - (1/4)) = √2/2.
Тогда sin P = (√2/2)/(√3/2) = √(2/3).
Так как отрезок ММ1 перпендикулярен плоскости CSD, то его длину находим так: ММ1 = (1/2)*sin P = (1/2)*(√2/√3) = √2/(2√3).
Отрезок SM как апофема равен SP = √3/2.
Получаем ответ.
sin(MSM1) = MM1/SM = (√2/(2√3))/(√3/2) = √2/3.
Угол равен arc sin(√2/3) = 0,49088 радиан = 28,1255 градуса.
Векторный
Пусть начало координат в точке В, ВА по оси Ох, ВС по оси Оу.
Координаты точек: С(0; 1; 0), S(0,5; 0,5; √2/2). D(1; 1; 0), M(0; 0,5; 0).
Направляющий вектор прямой имеет вид: l m n Скалярное произведение 0,353553391
s = {l; m; n} 0,5 0 0,707106781
Модуль = √0,75 = 0,866025404.
Вектор нормали плоскости имеет вид: A B C
Ax + By + Cz + D = 0 0 0,707106781 0,5
квадраты 0 0,5 0,25
Модуль = √0,75 = 0,866025404
sin fi = 0,471404521
fi = 0,490882678 радиан =28,1255057 градус .
2)