Понятие множества Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов, что повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий. Теория множеств – это раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Основатель научной теории множеств – немецкий математик Георг Кантор. Определение. Множеством называется совокупность, набор и т. д. однотипных элементов, воспринимаемых как единое целое. Множества обозначают большими латинскими буквами. Например, А = {Коля, Петя, Маша, Ира}, В = {1, 2, 7}, С = {1, 2, 3, 4, …, n, …}. Все предметы, составляющие множества, называются элементами множества. Элементы множества обозначают маленькими латинскими буквами. Например, если элемент х принадлежит множеству К, то пишут хК, если элемент х не принадлежит множеству К, то пишут хК. Есть множество, в котором нет ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают Ø. Множество может быть конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, и бесконечным, если оно содержит бесконечно много элементов. Примером конечного множества может служить множество дней недели, примером бесконечного множества – множество натуральных чисел. Из школьного курса вам известны примеры бесконечных числовых множеств – множеств натуральных(N), целых(Z), рациональных(Q), иррациональных(I) и действительных чисел (R). Множество может быть задано: • перечислением. Например, К = {2, 4, 20, 40}; • характеристическим свойством, т.е. свойством, характерным только для элементов этого множества. Например, . Из элементов множества А = {Коля, Петя, Маша, Ира}, например, можно составить новое множество М = {Петя, Маша}. Оно характеризуется тем, что все элементы М принадлежат множеству А. Говорят, что М – подмножество множества А и пишут М А. Множество М является подмножеством множества А, если всякий элемент множества М является элементом множества А и обозначают МА. Например, множество всех первокурсников является подмножеством множества всех студентов.
Для любого множества А справедливо: 1) Само множество является своим подмножеством, т.е. А А. 2) Пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. Ø А. Пример: Сколько можно составить подмножеств множества В? 1. В = {0, 1}, тогда {0}В, {1}В, ØВ, {0, 1}В – четыре. 2. В = {1, 2, 3}, тогда {1}В, {2}В, {3}В, {1, 2}В, {1, 3}В, {2, 3}В, ØВ, {1, 2, 3}В – восемь. Можно доказать, что если в множестве n элементов, то оно имеет 2n подмножеств. Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. А также множества А и В равны, если А В и В А. Пусть А={2, 1, 3}, a В = {1, 2, 3} тогда А= В.
Примеры. 1) Пусть А – множество канцелярских товаров в аудитории, В –множество шариковых ручек в аудитории, тогда B ⊂ A. 2) Перечислим все подмножества множества A = {1; 2; 3}: {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}, {1; 2; 3}, ∅ . Замечания. 1. Если A = B , то B A, A⊂ B. 2. Пустое множество является подмножеством любого множества: ∅ ⊂ A. 3. Знак ⊂ можно ставить только между множествами: B ⊂ A, ∅ ⊂ A. 4. Знак ∈ можно ставить только между элементом множества и самим множеством: a∈{a; b; c}. Операции над множествами, их свойства Пусть все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного множества, которое назовём универсальным и обозначим буквой U. Для геометрической иллюстрации операций над множествами воспользуемся диаграммами Эйлера – Венна, на которых универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а остальные множества – в виде овалов, в частности кругов. Введём операции над множествами.
