Question

Втреугольнике abc с углом b, равным 120, биссектрисы ae, bd и cm пересекаются в точке o. докажите, что угол dmo = 30.

Answer 1

AB=c; BC=a; CA=b

1) Известная формула для длины биссектрисы, благодаря тому, что угол B = 120 градусов, дает $BD=\frac{2ac\cos(B/2)}{a+c}=\frac{ac}{a+c};$

2) По свойству биссектрисы $\frac{c}{b}=\frac{BE}{EC}$. Но и BD - биссектриса $\Rightarrow DC=\frac{ba}{a+c}$ (пояснение: CD=x; DA=y; x:y=a:c; x+y=b, отсюда выражаем x). 

3) $\frac{BD}{DC}=\frac{ac/(a+c)}{ba/(a+c)}=\frac{c}{b}=\frac{BE}{EC}$
Следовательно, DE - биссектриса угла BDC.  Аналогично, DM - биссектриса угла ADB. Поскольку эти углы смежные, угол между их биссектрисами равен 90 градусов: $\angle MDE=90^{\circ}$

4) Пусть DE и CM пересекаются в точке F; поскольку они являются биссектрисами треугольника BDC, BF является третьей биссектрисой этого треугольника, а поскольку угол DBC равен 60 градусов, угол DBF равен 30 градусов, а  тогда угол ABF равен 90 градусов.

5) Таким образом, в четырехугольнике BMDF углы B и D - прямые, их сумма равна 180 градусов, а тогда вокруг этого четырехугольника можно описать окружность.

6) Остается заметить, что углы DMF и DBF вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу; следовательно, они равны. Но угол DBF равен 30, значит, и угол DMF=углу DMO = 30 градусов