Question

Y=x/(x^2+2) провести полное исследование функции и построить график

Answer 1

ДАНО
Y = x/(x²+2)
ИССЛЕДОВАНИЕ.

1.Область определения D(x) - непрерывная  Х∈(-∞;+∞).

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 0. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = 0,  limY(+∞) = 0. 

Горизонтальная асимптота - Y=0.

5. Исследование на чётность.Y(-x) = - Y(x).

Функция нечётная. 

6. Поиск экстремумов - в корнях первой производной функции.

$F'(x)= \frac{1}{x^2+2}- \frac{2x^2}{(x^2+2)^2}=0$ 

Надо думать, что корни этого уравнения - Х = +/-√2 ≈ +/- 1,41 

7. Локальные экстремумы. 

Максимум - Y(√2) ≈ 0,3536

и минимум - Y(-√2) =  - 0,3536

8. Интервалы монотонности. 

Возрастает -  Х∈(-√2;+√2)

Убывает - Х∈(-∞;-√2)∪(√2;+∞)

9. Вторая производная - Y"(x) = 0. - точка перегиба:  х = 0,

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-√2)∪(0;√2), 

Вогнутая – «ложка» Х∈(-√2;0)∪(√2;+∞). 

10. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(∞)(k*x+b – f(x).  

k=lim(∞)Y(x)/x =0. Наклонная совпадает с горизонтальной

11.График в приложении.