Question

(f)=x^3-2x^3+x-2 исследуйте функцию и постройте ее график.

Answer 1

Исследовать функцию и построить график 

Решение
1) Область определения функции.
Функция определена на всей числовой оси, то есть $x \in R$

2) Исследуем функции на четность
$f(-x) = (-x)^3-2(-x)^3+(-x)-2 = - (x^3-2x^3+x+2)$
Так как
$y(-x) \neq -f(x)$  и  $f(-x) \neq f(x)$ -  то функция не является ни четной, ни нечетной. Функцией общего вида.

3) Точки пересечения графика функции с осью OY, т.е. х=0
$f(0) = 0^3-2*0^3+0-2 = -2$

4) Функция не имеет точек разрыва, поэтому график не имеет вертикальных асимптот.

Найдем наклонные асимптоты $y = k*x + b$  , где
$k = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{x^3-2x^3+x-2}{x} = - x^{2} +1 = - \infty$
Наклонных асимптот тоже нет.

5) Найдем экстремумы функции. 
$f'(x) = (x^3-2x^3+x-2)' = (-x^3+x-2)' = -3x^2+1$

$-3x^2+1 = 0 \\ \\ x^{2} = \frac{1}{3} \\ \\ x = \pm \frac{1}{ \sqrt{3} }$
Получили две критические точки

В точке экстремума $x =- \frac{1}{ \sqrt{3} }$ производная меняет знак с "-" на "+"  значит это точка минимума

В точке экстремума $x= \frac{1}{ \sqrt{3} }$ производная меняет знак с "+" на "-"  значит это точка максимума.

6) Найдем точки перегиба. 
$f''(x) = (-3x^2+1)' = -6x$

$-6x = 0 \ \Rightarrow \ x =0$ - точка перегиба

7) Построим график функции. Данные для построения и сам график, представлены ниже