3) Для какой из функций f(x)=6(x2-1), g(x)=6x2-6x+1 и q(x)=6x(x-1) функция F(x) = 2x3-3x2+1 является первообразной? а) f(x) = 6(x² -1) = 6x² -6 F(x) = 6x³/3 - 6x + C = 2x³ -6x +C б) g(x) = 6x² -6x +1 G(x) = 6x³/3 -6x²/2 + x + C = 2x³ -3x² + x + C в) q(x) = 6x(x -1) = 6x² - 6x Q(x) = 6x³/3 - 6x²/2 + C = 2x³ - 3x² + C 4. Найти значение производной функции f(x)=x3lnx при х=4. f'(x) = 3x² *lnx + x³ * 1/x = 3x² * lnx + x² f'(4) = 12ln4 + 16 = 24ln2 + 16 5. Найти область определения и множество значений функции f(x)=1/корень кубический из 2x-3 2x - 3 ≠ 0 2x ≠ 3 x ≠1,5
Один корень у этого уравнения известен при любом а: ln(4x - 2) = 0 4x - 2 = 1 x = 3/4 ∈ [0; 2] Нам надо, чтобы на этом отрезке был только один корень. Это может быть в двух случаях: 1) Уравнение √(x^2 - 4x + 4a - a^2) = 0 корней не имеет. Тогда x^2 - 4x + 4a - a^2 = 0 тоже корней не имеет. Значит, D < 0. D = 4^2 - 4(4a - a^2) = 16 - 16a + 4a^2 = 4(a^2 - 4a + 4) = 4(a - 2)^2 < 0 Такого не может быть, квадрат выражения всегда неотрицательный. Значит, остается второй случай. 2) Уравнение √(x^2 - 4x + 4a - a^2) = 0 имеет корни, но они не ∈ [0; 2] Тут тоже возможно 2 варианта: 2а) Уравнение имеет 1 корень. D = 4(a - 2)^2 = 0. а = 2. Тогда x^2 - 4x + 4*2 - 2^2 = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0 x = 2 ∈ [0; 2] - нам этот вариант не подходит. 2б) Уравнение имеет 2 корня. D = 4(a - 2)^2 = (2a - 4)^2 > 0. a ≠ 2. Тогда x1 = (4 - (2a - 4))/2 = (8 - 2a)/2 = 4 - a x2 = (4 + (2a - 4))/2 = 2a/2 = a Здесь опять возможны варианты. 3а) x1 < 0; x2 < 0 { 4 - a < 0; a > 4 { a < 0 Решений нет. 3б) x1 < 0, x2 > 2 { 4 - a < 0; a > 4 { a > 2 Решение: a > 4 3в) x1 > 2, x2 < 0 { 4 - a > 2; a < 2 { a < 0 Решение: a < 0 3г) x1 > 2, x2 > 2 { 4 - a > 2; a < 2 { a > 2 Решений нет.
ответ: При a ∈ (-oo; 0) U (4; +oo) уравнение имеет 1 корень на [0; 2].
