Question

Найти точки экстремума y=-x^2+2x+3 и точки перегиба у=1/3x^3-3x^2+8x-4

Answer 1

Первая функция — парабола, ветви которой направлены вниз. Точка экстремума одна и находится она в вершине:
$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{-2}=1$
Можно также через производную:
$y'=-2x+2=0, x=1$

Вторая функция. Найдём её производную:
$y'=x^2-6x+8$
Найдём стационарные точки:
$x^2-6x+8=0; x_1=2, x_2=4$
В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 2 — точка максимума. В окрестности точки x = 4 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 4 — точка минимума.
Найдём интервалы выпуклости и вогнутости функции:
$(x^2-6x+8)'=2x-6=0; x=3$
x = 3 — точка перегиба.