Question

Полное исследование функции , плюс график функция y=x^2/x-1

Answer 1

ДАНО
Y(x) = x²/(x-1)
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения.
x-1 ≠ 0, Х≠ 1 - разрыв функции при Х=1.
Х∈(-∞;1)∪(1;+∞)
2. Вертикальная асимптота:  Х= 1.
3. Пересечение с осью Х.
x² = 0.  x = 0
4. Пересечение с осью У.
Y(0) = 0.
5 Наклонная асимптота.
Уравнение асимптоты:
k = Y(x)/x 
Y = x +1.
6. Проверка на чётность.
Y(-x) ≠ Y(x). Y(-x) ≠ - Y(x) Функция ни четная ни нечетная - общего вида..
7. Поведение в точке разрыва.
lim(->1-) Y(x) = -∞.lim(->1+) Y(x) = +∞.
8, Первая производная.
$Y'(x)= \frac{2x}{x-1}- \frac{x^2}{(x-1)^2}=0$
Корни: х1 = 0 и х2 = 2
9. Локальные  экстремумы.
Максимум -Ymax(0)=0. Минимум - Ymin(2) = 4.
10. Участки монотонности функции.
Возрастает- Х∈(-∞;0]∪[(2;+∞).
Убывает - Х∈[0;1)∪(1;2]
11. Вторая производная.
$Y"(x)= \frac{1}{x-1}*( \frac{2x^2}{(x-1)^2}- \frac{4x}{x-1}+2)=0$
Корней нет. Точек перегиба (на графике) - нет.
Перегиб в точке разрыва - х=1
12. Вогнутая - "горка" - Х∈(1;+∞), выпуклая - "ложка" - Х∈(-∞;1).
13. График в приложении