Точка А(4;2) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x-y-1=0.
Составить уравнение диагонали этого квадрата, проходящей через точку А.
Точка А(4;2) не лежит на заданной прямой x-y-1=0 (определяется подстановкой координат точки в уравнение прямой).
Значит, находим уравнение ещё одной стороны АВ как перпендикуляра к этой прямой, проходящей через точку А.
Это перпендикуляр к стороне ВС. У него коэффициенты общего уравнения Ax + By + C = 0 меняются по сравнению с ВС на –В и А.
Получаем x + y + C = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки А: 4 + 2 + С = 0, отсюда С = -4 - 2 = -6.
Уравнение ВС: x + y – 6 = 0.
Если прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0, то вектор -B и A является направляющим вектором данной прямой.
Поэтому угловой коэффициент прямой АВ равен -1/1 = -1.
Угол наклона этой прямой к оси Ох равен arctg(-1) = 135 градусов.
Диагональ АС проходит правее АВ, поэтому её угол на 45 градусов меньше.
Получаем, что угол наклона АС к оси Ох равен 135 - 45 = 90 градусов.
Это вертикальная прямая, её уравнение х = 4 (по точке А).
ответ: уравнение диагонали АС: х = 4.
Даны вершины пирамиды: А(2; 7; 9), В(3; 4; 9), С(3; 10; 10), D(4; 5; 8).
Найти:
а) угол ∠DAC.
Для этого надо найти векторы AD и AC.
AD = (4-2; 5-7; 8-9) = (2; -2; -1), модуль равен √(2² + (-2)² + (-1)²) = √9 = 3.
AC = (3-2; 10-7; 10-9) = (1; 3; 1), модуль равен √(1² + 3² + 1²) = √11.
Находим косинус угла между векторами.
cos (AD_AC) = (2*1+(-2)*3+(-1)*1)/(3*√11) = -5/(3√11) ≈ -5/9,9499 = -0,5025.
Угол равен 2,0973 радиан или 120,16679 градуса.
б) площадь грани ABC.
Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.
Находим вектор АВ:
AВ = (3-2; 4-7; 9-9) = (1; -3; 0).
Вектор АС уже найден: AC = (1; 3; 1).
Их векторное произведение равно:
I j k| I j
1 -3 0| 1 -3
1 3 1| 1 3 = -3i + 0j + 3k - 1j – 0i + 3k = -3i - 1j + 6k.
S = (1/2) √((-3)² + (-1)² + 6²) = (1/2)√9 + 1 + 36) = (1/2)√46 = √46/2 ≈ 3,3912.
в) объем пирамиды.
Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.
Произведение векторов (ABxAC) найдено выше и равно (-3; - 1; 6).
Находим вектор AD = (4-2; 5-7; 8-9) = (2; -2; -1),
(ABxAC) = -3 -1 6
AD = 2 -2 -1
-6 + 2 + -6 = -10.
V = (1/6)*|-10| = 10/6 = 5/3.
32 : 2 = 16