предположим, что НОД(a, b) = 1, тогда НОК(a, b) = ab:
(a - b)² = ab
a² + b² = 3ab
Если число делится на три, его квадрат тоже делится на 3, в противном случае квадрат даёт остаток 1 от деления на 3. 3ab делится на 3, значит, a делится на 3 и b делится на 3, но тогда НОД(a, b) = 3. Противоречие. Значит, НОД(a, b) > 1.
Пфф, так как эти углы равны, а АО делит его пополам, то это биссектриса. Здесь можно использовать понятие (осевой) симметрии. Будем поворачивать треугольник АОВ в пространстве вокруг линии ОА. Точки А и О останутся на месте, линия ОВ наложится на линию ОС (углы АОВ и АОС равны!) , при этом точка В совместится с точкой С, потому что длина отрезка АВ равна длине отрезка АС. Значит, отрезок ОВ совместится с отрезком ОС, а значит, ОВ=ОС. Теперь треугольники АОВ и АОС равны, следовательно, углы ОАВ и ОАС равны. Да, данная задача ни к одному из трёх признаков равенства треугольников не подходит, и потому требует доказательства (хотя равенство треугольников АОС и АОВ при ТУПЫХ углах АОС и АОВ кажется "очевидным"). Оригинальное доказательство привёл Аленицын. А то, что углы равны именно 120о, никакой роли не имеет.
предположим, что НОД(a, b) = 1, тогда НОК(a, b) = ab:
(a - b)² = ab
a² + b² = 3ab
Если число делится на три, его квадрат тоже делится на 3, в противном случае квадрат даёт остаток 1 от деления на 3. 3ab делится на 3, значит, a делится на 3 и b делится на 3, но тогда НОД(a, b) = 3. Противоречие. Значит, НОД(a, b) > 1.