Метод Симпсона (метод парабол). Это более совершенный – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол.
Метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.
Проведём разбиение отрезка на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через .
Запись лишь обозначает, что количество отрезков чётно.
В данной задаче: десять: .
Наше разбиение имеет следующий вид:
Термины аналогичны терминам метода трапеций:
Точки называют узлами.
Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид:
, где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг;
– значения подынтегральной функции в точках .
Удобнее применить формулу Симпсона для каждого шага, а потом просуммировать результат.
Справа даны округлённые значения. Запятая – это разделитель, i это площадь участка по формуле Симпсона.
Для сравнения приводится значение этого интеграла по формуле трапеций.
x = -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y = 0 2,645751 2,828427 3 4 5,91608 8,485281 11,53256 14,96663 18,73499 22,80351
Трапеций 1,322875656 2,737089 2,914214 3,5 4,95804 7,200681 10,00892 13,2496 16,85081 20,76925 83,51148
x = -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8
y = 2,150581 2,806243 2,850439 3,372684 4,860556 7,132671 9,956154 13,20511 16,81145 20,73343 22,80351
f(x) = 1,874679 2,783192 2,871697 3,415123 4,89305 7,155341 9,973743 13,21994 16,82457 20,74537 83,75671
Симпсона
Если по этой копии трудно разобраться, то во вложении приведен оригинал расчёта, распечатанный в Word.
3x=540-720+360
3x=180
x=180:3
x= 60
y=78000-867-9869
y= 67264