Дана функция y=x^3/(x^2-x+1).
План исследования:
1)Найти область определения ф-ции, интервалы непрерывности и точки разрыва ф-ции .
Исследуем знаменатель на возможность равенства нулю.
Выражение: x^2-x+1=0.
Ищем дискриминант: D=(-1)^2-4*1*1=1-4=-3;
Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.
Значит, функция не имеет ограничений. х ∈ Z.
2)Чётность и нечётность: f(-x) = -x^3/(x^2+x+1) ≠ f(x) ≠ -(f(x).
Функция общего вида.
3)Найти точки пересечения с осями координат.
- с осью Оу при х = 0, у = 0.
- с осью Ох при у = 0.При этом надо числитель приравнять нулю.
Получаем х = 0.
4)Определить интервалы возрастания и убывания, экстремумы ф-ции .
Производная функции равна: y' = (x²(x² - 2x + 3))/(x²- x + 1)².
Приравняем нулю числитель: x²(x² - 2x + 3) = 0.
Один корень получаем: х = 0.
Далее приравниваем нулю второй множитель. x² - 2x + 3 = 0.
Д = 4 - 4*1*3 = -8. Корней нет. Одна критическая точка х = 0.
Для определения характера этой точки определяем знаки производной левее и правее точки х = 0.
x = -1 0 1
y' = 0,667 0 2 .
Как видим, эта точка не является экстремумом функции.
На всей области определения функция возрастает (производная везде положительна).
5)Найти интервалы вогнутости и выпуклости, точки перегиба.
Вторая производная (её нахождение сложное и громоздкое) имеет нули в двух точках: х = 0 и х = 1. Это точки перегиба.
График вогнут на промежутке (0; 1).
График выпуклый на промежутках (-∞; 0) и (1; +∞).
6) Определить асимптоты.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬( x→±∞)〖(kx+b-f(x)).〗
Находим коэффициент k: k=lim(x→±∞)〖(f(x))/x.〗
k= lim(x→∞)〖x³/((x²-x+1)* x)=x²/(x²-x+1)=(x²/x² )/((x²/x²) - (x/x²) + (1/x²) =1/(1+0+0)=1.〗
Коэффициент b: b=〖lim(x→±∞) (〗〖f(x)-kx).〗
Аналогично коэффициенту к находим b = 1.
Уравнение наклонной асимптоты у = х + 1.
7)Построить график по точкам:
x y
-3.0 -2.08
-2.5 -1.6
-2.0 -1.14
-1.5 -0.71
-1.0 -0.33
-0.5 -0.07
0 0
0.5 0.17
1.0 1
1.5 1.93
2.0 2.67
2.5 3.29
3.0 3.86
(Акция про Селигер — у заметки нет заголовка. Мы еще с Вами будем изучать разновидности заголовков. Не очень хорошо начинать текст с даты. Начинайте с самого главного — что произошло и где. Далее указывайте, что это произошло, например, в начале январе или в четверг. Но можно указать и дату, только не в самом начале текста.)
В самом начале участники молодежного движения рассказали о самой организации, её задачах и основных направлениях: волонтерство, работа с подростковыми клубами, посещение ГУ КЦСОН, проведение акций. Рассказ получился очень интересным, повествовательным и насыщенным информацией. (Использование аббревиатур… ГУ КЦСОН… Вы пишите для разных читателей, далеко не все из них знают что это такое. Обычно пишут так — Европейский центр журналистики (ЕЦЖ), а далее в тексте уже можно использовать «ЕЦЖ». Писать только буквенные сочетания тоже можно — если Вы пишите только для какой-то группы людей, для которых эта аббревиатура хорошо известна.)
Вторая часть акции была посвящена представлению Всероссийского молодежного форума – Селигер. Зрителям показали удивительный ролик про жизнь и быт Селигера, который сорвал бурные овации среди присутствующих, а также своими впечатлениями об этом форуме поделились его участники – те, кто побывал там этим летом. Основной идеей акции является привлечение молодых, талантливых, интересующихся сферой молодежной политики, любителей своей страны, жаждущих развиваться молодых людей, которые имеют желание побывать на Всероссийском молодежном форуме на «Селигер». Всех желающих приглашали стать активными участниками общественного движения «Молодой Байконур». Проведенная акция произвела неизгладимое впечатление у всех присутствующих, очень много молодых ребят заинтересовалось этим. Скорее всего, ряды «Молодого Байконура» в самом ближайшем будущем пополнятся и еще больше активных ребят поедут следующим летом на Селигер.