Question

Вычислить приближенное значение выражения с применением дифференциала: sqrt (8,04^2 + 6,03^2)

Answer 1

Приближенное вычисление с дифференциала функции двух переменных:

$f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+d[f(x_0,y_0)] \\ \\ \\ d[f(x_0,y_0)] =f'_x(x_0,y_0)*\Delta x+f'_y(x_0,y_0)*\Delta y$

$f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=\sqrt {8,04^2 + 6,03^2} \\ \\ x_0=8; \ \Delta x=0.04\\ y_0=6; \ \Delta y=0.03 \\ \\ f(x,y)= \sqrt{x^2+y^2} ; \ \ f(x_0,y_0)=\sqrt{8^2+6^2}= \sqrt{100} =10 \\ \\ f'_x(x,y)= \frac{2x}{2 \sqrt{x^2+y^2} } = \frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2} } ; \ \ f'_x(x_0,y_0)= \frac{8}{ \sqrt{8^2+6^2} } = \frac{8}{10} =0.8 \\ \\ f'_y(x,y)= \frac{2y}{2 \sqrt{x^2+y^2} } = \frac{y}{ \sqrt{x^2+y^2} } ; \ \ f'_x(x_0,y_0)= \frac{6}{ \sqrt{8^2+6^2} } = \frac{6}{10} =0.6 \\ \\$

$f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)*\Delta x+f'_y(x_0,y_0)*\Delta y \\ \\ \sqrt {8,04^2 + 6,03^2} \approx 10+0.8*0.04+0.6*0.03=10.05 \\ \\ OTBET: \ 10.05$