Пусть лягушонок стартует в точке 
. Тогда, если какие-то две точки повторились, то лягушонок побывал также в точке дважды, т.е. мы попали в цикл. Если мы покажем, что уравнение 
имеет решение при любом 
, то цикл будет состоять из всех точек, и лягушонок побывает во всех точках по одному разу, а затем вернется в точку ;
Докажем для начала, что если существует решение для остатков 
, то существует решение для остатка 
. Это вполне очевидно: просто сложим два уравнения для остатков . Теперь, в частности, если существует решение для 
, то существует решение для всех остатков. То есть нам надо решить диофантово уравнение 
; Для этого сразу положим 
; Пусть 
;
Тогда из числа 
нам нужно получить число 
; Но мы умеем прибавлять единицу: 
. То есть 
; Иными словами, получили решение 
, но нам нужно решение в натуральных числах. Не вопрос: добавим к 
2020, а к 
добавим 99. Получим решение: 
.
Итак, план действий следующий.
Пусть мы находимся в точке . Прыгаем 41 раз на 100 и 1999 раз на 99. Теперь мы в точке 
. Таким образом, мы посетим все точки.
Главное, что были использованы все цифры!
Цифрам буду давать номера слева на право (1ая - самая левая).
Максимально возможная первая цифра это 6, т.к. после неё больше будут только 7, 8, 9, всего 3.
Каждая следующая цифра (для первых 4) меньше предыдущей т.к. должны использоваться все цифры, а если следующая будет больше, то не получится "3333", будет "321...". 5ая цифра должна быть больше 1ой, чтобы сбросилось кол-во больших цифр с 3 до 2. Аналогично недавним рассуждениям, 6ая и 7ая цифра должны быть меньше предыдущей, при этом 6ая меньше 4ой. Далее 8ая больше 5ой. 9ая меньше 7ой. 10ая больше 8ой.
Мы получили, что после 1ой цифры должно быть 6 цифр, которые меньше её. Наименьшая возможная цифра это 6 т.к. меньше её 5, 4, 3, 2, 1, 0, всего 6.
Максимальное и минимальное значение для первой цифры это 6, значит первая цифра именно 6. После рассуждений, приведённый выше, получим число.
ответ: 6543721809
ответ: 45.