дана матрица
-3 5 5
а = -3 -4 1
-4 -4 2
докажите, что она имеет обратную a−1, и найдите элемент обратной матрицы, стоящий в строке 3 и столбце 3.
в ответ введите значение этого элемента. не целое значение округлите до трёх значащих (отличных от нуля) цифр десятичной дроби.
!
Для начала, вычислим определитель матрицы a по правилу треугольников или разложению по первому столбцу:
det(a) = -3 * det(-4 1) - 5 * det(-4 2)
-4 2
= -3 * (-4*2 - (-4*1)) - 5 * (-4*2 - (-4*2))
= -3 * (-8 + 4) - 5 * 0
= -3*(-4) - 5*0
= 12
≠ 0
Таким образом, определитель матрицы а не равен нулю, что означает, что матрица а является невырожденной и имеет обратную матрицу a^-1.
Для нахождения элемента обратной матрицы, стоящего в третьей строке и третьем столбце, требуется применить формулу элемента обратной матрицы:
(a^-1)33 = (-1)^(3+3) * det (A33) / det (A)
где A33 - это минор элемента a33, а A - это определитель матрицы a.
Матрица a^-1 имеет следующий вид:
a^-1 = (1/det(a)) * adj(a)
где adj(a) - это матрица алгебраических дополнений.
Таким образом:
a^-1 = (1/12) * adj(a)
adj(a) = (A11 A12 A13)
(A21 A22 A23)
(A31 A32 A33)
= ( (-1)^(1+1) * det (-4 2) (-1)^(1+2) * det (-4 2) (-1)^(1+3) * det (-4 -4) )
( (-1)^(2+1) * det ( 1 2) (-1)^(2+2) * det (-3 2) (-1)^(2+3) * det (-3 -4) )
( (-1)^(3+1) * det ( 1 -4) (-1)^(3+2) * det (-3 -4) (-1)^(3+3) * det (-3 -4) )
= ( 1 1 0 )
( 1 1 1 )
( 0 -1 -1 )
Теперь, умножим adj(a) на 1/12:
(1/12) * ( 1 1 0 )
( 1 1 1 )
( 0 -1 -1 )
Таким образом, элемент обратной матрицы, стоящий в третьей строке и третьем столбце, равен -1/12.
Ответ: -1/12 (округлено до трех значащих цифр после запятой: -0.083).